证明题
证明:coscoscoscosx>sinsinsinsinx。
证明: 由周期性如, 只需证明x∈[0,2π]不等式成立即可。 ⑴ 若x∈[π,2π],则左边>0,右边≤0, 不等式显然成立。 ⑵ 若x∈[0,π/2], ∵sinx+cosx =√2sin(x+π/4)≤√2cos(π/2-sinx)=sinsinx。
将x替换成coscosx, 使得coscoscoscosx>sinsincoscosx, 而正弦函数y=sinx在[0,π/2]递增, 即sinsincoscosx>sinsinsinsinsinx, 故coscoscoscosx>sinsinsinsinx成立。
⑶ 若x∈(π/2,π),令y=x-π/2, 则由⑵中所证,得 coscos(cossiny)>sinsin(cossiny)>sinsin(sincosy) 即coscoscoscosx>sinsinsinsinx。 综上知,coscoscoscosx>sinsinsinsinx恒成立, 故命题得证。
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