1。 ydy/(y^2-1)=dx/x, d(y^2-1)/(y^2-1)=2dx/x, ln(y^2-1)=2lnx+lnC, 
   y^2-1=Cx^2, 得 y^2-Cx^2=1。
2。 令 u^2=x+2y+1, 得 y=(u^2-x-1)/2, y'=(2uu'-1)/2, 
  原方程化为 (2uu'-1)u=2，2u^2du/(u+2)=dx, 即 [2u-4+8/(u+2)]du=dx,
  u^2-4u+8ln(u+2)+lnC=x, C(u+2)^8=e^(x-u^2+4u), 
  C[2+√(x+2y+1)]^8=e^[x-(x+2y+1)+4√(x+2y+1)], 即
  C[2+√(x+2y+1)]^8=e^[4√(x+2y+1)-2y-1]。
  
3。 (y^2-3x^2)dx=-xd(y^2), d(y^2)/dx+y^2/x=3x, 是y^2对x的一阶线性微分方程。
  y^2=e^∫(-dx/x)[∫3x(e^∫dx/x)dx+C]=(1/x)[∫3x^2dx+C]=(1/x)(x^3+C), 即
  y^2=x^2+C/x
4。
   是一阶线性微分方程, 
  y=e^∫(-cosxdx)[∫sinxcosx(e^∫cosxdx)dx+C]
  =e^(-sinx)[∫sinxcosx(e^sinx)dx+C]=e^(-sinx)[∫sinxd(e^sinx)+C]
  =e^(-sinx)[sinx*e^sinx-∫(e^sinx)dsinx+C]
  =e^(-sinx)[sinx*e^sinx-e^sinx+C]，得 y=sinx-1+Ce^(-sinx)。
  
5。 原方程化为 yd[√(1+x^2)+x^2-lnx]=-[√(1+x^2)+x^2-lnx]dy, 即
  d[√(1+x^2)+x^2-lnx]/[√(1+x^2)+x^2-lnx]=-dy/y,
  ln[√(1+x^2)+x^2-lnx]=-lny+lnC, 得 y[√(1+x^2)+x^2-lnx]=C。
  
6。 原方程即 (x+sinx+siny)dx+dsiny=0, 
  令 u=x+sinx+siny, 得 siny=u-x-sinx, dsiny=du-dx-cosxdx, 
  原方程化为 udx+du-(1+cosx)dx=0, 即 u'+u=1+cosx,
  u=e^∫(-dx)[∫(1+cosx)(e^∫dx)dx+C]=e^(-x)[∫(1+cosx)e^xdx+C]
  =e^(-x)[e^x+∫cosxe^xdx+C],
  其中 I=∫cosxe^xdx =∫cosxde^x=cosxe^x+∫e^xsinxdx 
  =cosxe^x+∫sinxde^x =(cosx+sinx)e^x-I, 得 I=(1/2)(cosx+sinx)e^x, 则
  u=e^(-x)[e^x+(1/2)(cosx+sinx)e^x+C]，
  u=1+(1/2)(cosx+sinx)+Ce^(-x)。
  
  即 x+sinx+siny=1+(1/2)(cosx+sinx)+Ce^(-x),
  得 x+siny=1+(1/2)(cosx-sinx)+Ce^(-x),。