线性代数知识点（1）

行列式

一、行列式概念和性质

1、逆序数：所有的逆序的总数

2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和

3、行列式性质：（用于化简行列式）

（1）行列互换（转置），行列式的值不变

（2）两行（列）互换，行列式变号

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

二、重要行列式

1、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

2、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

3、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

4、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

★5、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

三、按行（列）展开

1、按行展开定理：

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0

四、克莱姆法则

1、克莱姆法则：

（1）非齐次线性方程组的'系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0

（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

矩阵

一、矩阵的运算

1、矩阵乘法注意事项：

（1）矩阵乘法要求前列后行一致；

（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

二、矩阵的逆运算

1、逆的求法：

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解

（2）A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）

三、矩阵的初等变换

1、初等行（列）变换定义：

（1）两行（列）互换；

（2）一行（列）乘非零常数c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

★四、矩阵的秩

1、秩的定义：非零子式的最高阶数

注：

（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O

（2）r（An×n）=n（满秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

2、秩的求法：

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；

（2）A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数

五、伴随矩阵

六、分块矩阵

1、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。

2、分块矩阵求逆：

向量

一、向量的概念及运算

1、长度定义：

线性代数知识点（2）

01特点与难点

1、特点

前面是基础，后面是应用。

这句话有三层意思

⑴、前面的内容学好，后面内容才看得懂。

⑵、前面内容不会单独考，70%会结合后面内容考查，所以题目综合性强。

⑶、前面内容需要记忆，类似于泰勒公式，类似于求导公式，但是不同于泰勒公式的是，可以通过理解记忆。

2、难点

⑴、没有一本好的辅导书。

①刚刚说过，前面的内容可以通过理解记忆，但是辅导书不讲深层原因，而是直接罗列出来。

比如：行列式性质

②大部分考研难度的题目都具有一定综合性，编者不好编辑例题。

比如：行列式内容中，抽象行列式涉及矩阵内容(此时矩阵还没有学习)

矩阵内容中秩的相关概念需要用向量和方程组的知识理解(此时向量还没有学习)

⑵、网课老师深浅把握不好

张宇：线性代数讲得深!他可以把深层次原因讲出来，但是作为新手，你会质疑老师的能力!

李永乐：讲的细致，风格恰好与张宇相反。

杨超：同李永乐

⑶、某些概念理解有困难

这部分原因是两部分造成的：

①没有理解前面某些概念。

②由于题目综合性强，练的题目少。

把这三个难点联系在一起，你们有没有发现?

线性代数复习进入了一个死循环

前期复习没有涉及后面的知识点→做题少、不能够通过做题加深概念→后面知识点理解困难→做题少、不能够通过做题加深概念。

所以，堂主下面写的内容对你们有三个帮助

帮助1：知道哪些习题是综合性题目，哪些知识点是为后面做铺垫。

帮助2：让你们对线性代数有一个系统的了解。

帮助3：帮助你们梳理知识点，避免盲目的学习!

02各章知识点总结

【行列式】

1、行列式本质——就是一个数

2、行列式概念、逆序数

考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。

3、二阶、三阶行列式具体性计算

考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。

4、余子式和代数余子式

考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。

5、行列式展开定理

考研：核心知识点，必考!

行列式的计算只掌握3和5，7属于处理方法(题型)。

6、行列式性质

考研：核心知识点，必考!小题为主。

7、行列式计算的几个题型

①、划三角(正三角、倒三角)

②、各项均加到第一列(行)

③、逐项相加

④、分块矩阵

⑤、找公因

这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。

考研：经常运用在找特征值中。

⑥数学归纳法

⑦范德蒙行列式

⑧代数余子式求和

⑨构造新的代数余子式

考研：这9个小知识点，除⑤外，只涉及第一章的考点。

如果出大题，最多是一道大题的第一问!绝不可能单独命题!

8、抽象型行列式(矩阵行列式)

①转置

②K倍

③可逆

③伴随

④题型 丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型

(这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容)

考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察

【矩阵】

1、矩阵性质

考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。

2、数字型n阶矩阵运算

①方法一：秩是1

②方法二：含对角线上下三角为0的矩阵

③方法三：利用二项式定理，拆写成E+B型

④方法四：利用分块矩阵

⑤方法五：P-1AP=B;P-1APP-1AP=B2

方法五涉及相似对角化知识。

方法三涉及高中知识。

考研：常见在大题出现，是大题的第一问!看到数字型n阶矩阵运算，一定出自这5个方法。

(如果本题不会做，你的问题出在只掌握这五种方法的某几种，所以你是失败在归纳总结上了)

3、伴随矩阵

考研：伴随矩阵常与其他知识考察，与行列式、转置、K倍、可逆、伴随的伴随结合考察。

4、二阶矩阵的伴随矩阵

法则：主对角线互换、副对角线填负号。

考研：如果让求某个二阶矩阵的可逆矩阵，难点转化成如何计算它的伴随矩阵。

5、可逆矩阵两种求法

考研：可逆矩阵可与行列式、转置、K倍、伴随矩阵、可逆的可逆结合考察。

6、分块矩阵

考研：以小题出现

7、初等矩阵

考研：小题出现

8、正交矩阵、对称矩阵、反对称矩阵

考研：第二章先知道张什么模样，这部分内容在二次型、相似对角化考察。

9、秩(十个公式)

考研：我把秩比作答题的第二种方法，在解决向量、方程组等相关知识点，可以用传统方法(解题速度慢)，也可用秩，解题速度是传统方法的5倍!但是难懂。

这部分内容建议听：李永乐+杨超+汤家凤的所有网课内容!强化记忆!是线性代数的难点!!!

(但不是重要考点)

【向量】

1、几组定义(向量内积、向量的长度、单位化、正交)

考研：考单位化，但是如果想理解线性代数本质，向量内积、向量的长度要懂。

2、线性相关、无关的三大判别方法

⑴、利用行列式

⑵、向量个数>维度，必相关

⑶、利用秩

考研：小题出现，很少结合其他章节知识点。

3、线性相关无关证明题三种思路

⑴、利用定义法

⑵、用秩

⑶、反证法

考研：大题考点，这部分内容可以与线性方程组结合，也可以与特征值特征向量结合，也可以与秩结合。至于如何结合，怎么结合，请自己归纳总结。

4、线性表出四大判别方法

⑴、利用行列式

⑵、利用秩

⑶、利用定义

⑷、利用方程组

考研：可小题、可大题，但是通是大题的某一问。

5、克拉默法则

考研：服务线性表出。

6、线性表出计算题三大思路

⑴、利用克拉默法则

⑵、构建方程组，抓0思想

⑶、与向量组结合考等价。

考研：大题考点!涉及部分方程组知识和初等行变换知识。

这部分内容涉及重要的数学思想：分类讨论!!!(大题爱考)

7、线性表出证明题四个理论

考研：大题小题都有，但是近几年小题居多。

8、极大线性无关组

考研：核心考点内容和2、3知识点一样，换汤不换药

9、等价向量组

考研：小题居多，很少与其它章节知识点结合。

【线性方程组】

1、基础解系

(不懂就背下来，我当时考研到10月份才茅塞顿开。)

2、齐次线性方程组与非齐次线性方程组

⑴、常规求解

⑵、解含参数的方程组

(这部分内容最难在于化简，矩阵基础要牢固!!)

⑶、利用解的三个性质

⑷、通过矩阵运算，构造方程组再求解

考研：大题核心考点，历年考题向量和方程组会出其中一道，而方程组的出题概率高于向量!原因如下

①、解题方法多。

②、能与矩阵相关知识联系结合。

3、公共解、同解两种题型

考研：重要考点题!

【特征值与特征向量】

1、特征值相关概念与计算

考研：必考题，这里面难点不在于特征值相关知识，而在于求解行列式相关知识。

2、特殊特征值

⑴、上三角矩阵、下三角矩阵。

⑵、秩为1的矩阵

⑶、某个矩阵拆分后，利用⑴和⑵结合。

3、相似矩阵概念及性质

考研：不会单独出，但一定会结合其他题目

4、相似矩阵两种考题

如果P-1AP=B

⑴若Aλ=λa →B(P-1a)=λ(P-1a)

⑵若Ba=λa →A(Pa)= λ(Pa)

考研：这部分内容是内容5的基础，但是如果单独出考题，不太可能。

5、对角矩阵的相似问题

核心内容：“搭桥”桥是Λ。

考研：核心重点考点!

本内容需要分类讨论、需要基础解系相关知识、又可以联系特征值、特征向量，性质方面也可全面考察。

6、反对称矩阵

考研：小题

7、实对称矩阵以及正交矩阵

考研：也是重要考点，大部分知识和前面一样，唯一不同之处在于多一个史密斯正交化。

【二次型】

1、二次型相关概念

内容和微分方程有异曲同工之妙，记忆的内容比较多，但比较简单。

考研：出小题，比如填写一个负惯性指数。

2、矩阵的等价、相似、合同

考研：出小题，一定不可能出大题的。

3、化二次型为标准型、正定问题

考研：核心重点考点，内容本身没什么难度，只是把前面所有的知识综合起来。

这里不用细说，如果前面的相关内容复习的非常好，这部分内容学习起来会轻松很多。

03总结

1、线性代数一个月之内完成!堂主预计是20天左右

2、如何归纳总结，堂主已经把“坑”挖好了，填坑的工作交给你们了。

对这种类型的题关注到何种程度，也已告知。

3、线性代数最难的不是特征值、二次型，而是向量和线性方程组。

4、现在看不懂没关系，建议你们打印下来这篇文章，在复习中体会，以及各位可以把我的“坑”再次细分。

5、线性代数一轮结束，可以抽2天听张宇基础班内容，讲的是线性代数的本质内容。

经验告诉你们，张宇线性代数基础班比强化班还要抽象。

对于有基础的你们，属于锦上添花。

线性代数知识点（3）

►选择很重要

对于学校的选择，一定要慎重(血的教训)，可以晚点选择学校，差不多暑假或暑假前把学校选好，但是一定要查清楚目标院校的基本信息，包括：

1、该校历年录取人数

如果本科为双非学校，特别要弄清目标院校历年录取人数中统招生的名额!!!我选第一志愿今年统招生好像只要五六个。

2、该校历年考试书目

查清楚目标院校历年初试书目，比较稳定的应该不会有变动，因为有的学校会在十月份左右换书。或者就选择大部分学校初试都会考的书，这样即使你的目标院校临时换书或者加书了，你也可以换学校。

比如我本科是思想政治教育专业，所以很多学校的初试书多为马原、毛中特、思修、近代史之类的书。我第一志愿学校初试考的是马克思主义发展史和思想政治教育原理与方法，幸亏没换书

3、该校历年录取分数线

千万不要只盯着上一年的分数，比如看见上一年350多也进去了就觉得很好考，这完全是错误的，要看看历年的分数，多比较比较，从自身实际出发，不要盲目选择。

4、该校历年英语分数线

一定要关注目标院校历年英语分数线，根据自己的英语水平去选择合适的学校，以防最后英语卡线的现象出现。当然，也不排除英语水平在考研期间突飞猛进的情况，这个因人而异吧。

►在最后关头要坚持

我在这上面吃了大亏。我其实不是太赞成把占线拉的特别长，后期容易“没油”。考研分三个时期：新鲜期――充满干劲，缓冲期――继续坚持，冲刺期――重中之重。我认为冲刺期最重要，前期都是为了这个做准备，这个时期极易产生自我怀疑等负面情绪，要调整好状态，坚持住。

我在后期特别不想学习，然后复习不到位，没看到的刚好出题了，所以要想不输就不能存在侥幸心理，觉得这个题应该不会出就不看了。

►合理规划时间，劳逸结合

学习要有方法，特别羡慕宿舍一妹子，背书不出声，属于理解记忆那种类型，我背书必须得读出声，要不然记不住，而且效率还不高。计划表是一定要做的，详细一点更好。可以以周为单位，一周结束后看一下自己完成的情况，会有满满的成就感。最好把奖惩政策也制定一下，适时地奖励自己一下，学习会更有干劲。

►对各科目的时间分配要合理

虽然都说前期侧重英语，专业课可以往后拖，但是真心建议不要把专业课拖的太晚了，因为专业课是一个把书读薄又读厚的过程，确定好学校后可以在学习英语的空闲适当地看看专业课的书。政治可以不用开始这么早，但是可以下载几个新闻软件或者关注人民日报等，有意识地多关注新闻。

►手机

如果自制力不强，出门学习可以不带手机，或者怕有人联系就换个老年机。

►不要轻言放弃

初试专业课题型今年突然大变，一下子就懵了，耽误了一段时间，导致一门专业课分数极低，上午一考完就感觉砸了，但是下午还是去考试了，要不真的是调剂都没办法了真的是什么时候都不要轻言放弃。