証明任意整?祅,n^6+2n^5-n^2-2n能被120整除
証明任意整?祅,n^6+2n^5-n^2-2n能被120整除.
証明:n^6+2n^5-n^2-2n
=n^5(n+2)-n(n+2)
=n(n^4-1)(n+2)
=n(n^2+1)(n+1)(n-1)(n+2)
=n(n^2-4+5)(n+1)(n-1)(n+2)
=n(n-2)(n+2)(n+1)(n-1)+5n(n+1)(n-1)(n+2)
上式的第一??槲??連續整?迪喑??t必能被５*4*3*2=120整除,第二?中是四??連續整?档某朔e的5倍,因而也能被5*4*3*2*1=120整除,于是原式能被120整除.
A = n^6+2n^5-n^2-2n = (n-1)n(n+1)(n+2)(n^2 +1) 1. 在连续自然数(n-1)n(n+1)(n+2)中，必有两个偶数，并且其中一个为4的倍数。因此，A可以被8整除。 2. 而且，(n-1)n(n+1)(n+2)必有一个3的倍数，因此，A可以被3整除。 3. 若(n-1)n(n+1)(n+2)中有5的倍数，则A可以被5整除。 若(n-1)n(n+1)(n+2)中没有5的倍数，则n一定形如：n=5p+2 此时，n^2 +1 =25p^2 +20p +5，为5的倍数。因此，A可以被5整除。 因此，n^6+2n^5-n^2-2n可以被8*3*5=120整除。
n^6+2n^5-n^2-2n =n(n^5+2n^4-n-2) =n(n-1)(n+1)(n^3+2n^2+n+2) =n(n-1)(n+1)(n+2)(n^2+1) 当n=2时,是5个连续的整数的乘积=120 4个连续的整数必有一个能被4整除 4个连续的整数至少有一个能被3整除 4个连续的整数至少有一个能被2整除 所以上式能被2*3*4*5=120整除
n^6 + 2n^5 - n^2 - 2n = n * (n^5 + 2n^4 - n - 2) = n * (n + 2) * (n^4 - 1) = n(n+2)(n^2-1)(n^2+1) = (n-1)n(n+1)(n+2)(n^2+1) n-1,n,n+1,n+2这四个连续整数中必至少有一个3的倍数，恰好一个4的倍数，恰好一个2的倍数(担不是４的倍数)，所以乘积必能被3*4*2=24整除 又这四个连续整数中若有一个是5的倍数，则乘积就是24*5=120的倍数了；若这四个连续整数中没有5的倍数，则n=5k+2（自己想一想为什么），那么 n^2 + 1 = (5k+2)^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 5 是5的倍数，所以总乘积仍然是120的倍数 （证毕） 任何一个整数n按照被５除的余数情况，总共有以下５类(k是整数)： n=5k 此时 n是５的倍数 n=5k+1 此时 n-1是５的倍数 n=5k+2 此时 n-2(或n+3)是５的倍数——（但上边没有） n=5k+3 此时 n+2是５的倍数 n=5k+4 此时 n+1是５的倍数。
问：为什么？任意一个三位数写两次这个数一定能被71113整除？
答：这是个假命题。 111111不能被71113整除。详情>>
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