【方法总结：裂项相消求和法】 [1] 相邻两个正整数乘积和 1×2＋2×3＋3×4＋。。。＋n×(n+1) = (1/3)×[1×2×3 - 0×1×2] ＋(1/3)×[2×3×4 - 1×2×3] ＋(1/3)×[3×4×5 - 2×3×4] ＋。
。。 ＋(1/3)×[n×(n+1)×(n+2) - (n-1)×n×(n+1)] = (1/3)×n×(n+1)×(n+2) [2] 相邻三个正整数乘积和 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋。。。＋n×(n+1)×(n+2) = (1/4)×[1×2×3×4 - 0×1×2×3] ＋(1/4)×[2×3×4×5 - 1×2×3×4] ＋(1/4)×[3×4×5×6 - 2×3×4×5] ＋。
。。 ＋(1/4)×[n×(n+1)×(n+2)×(n+3) - (n-1)×n×(n+1)×(n+2)] = (1/4)×n×(n+1)×(n+2)×(n+3) [3] 相邻m个正整数乘积和 ＜k=1 to n＞∑k×(k+1)×(k+2)×。
。。×(k+m-1) =＜k=1 to n＞∑[1/(m+1)]× [k×(k+1)×。。。×(k+m)-(k-1)×k×。。。×(k+m-1)] =[1/(m+1)]×k×(k+1)×。。。×(k+m) [4] 相邻两个正整数乘积倒数和 ＜k=1 to n＞∑1/[k×(k+1)] =＜k=1 to n＞∑[1/k - 1/(k+1)] =1 - 1/(n+1) [5] 相邻三个正整数乘积倒数和 ＜k=1 to n＞∑1/[k×(k+1)×(k+2)] =＜k=1 to n＞∑(1/2)×{1/[k×(k+1) - 1/[(k+1)×(k+2)]} =(1/2)×{1/(1×2) - 1/[(n+1)×(n+2)]} [6] 相邻m个正整数乘积倒数和 ＜k=1 to n＞∑k×(k+1)×(k+2)×。
。。×(k+m-1) =＜k=1 to n＞∑[1/(m-1)]× {1/[k×(k+1)×。。。×(k+m-2)] - 1/[(k+1)×(k+2)×。。。×(k+m-1)]} =[1/(m-1)]×{1/[1×2×。。。×(m-1)] - 1/[(n+1)×(n+2)×。
。。×(n+m-1)]} 【说明】 以上裂项相消求和法，可以推广到“等差数列”等。 。
∑〈1，n〉n(n+1)(n+2) =∑〈1，n〉n^3+3∑〈1，n〉n^2+2∑〈1，n〉n =[n(n+1)/2]^2+3[n(n+1)(2n+1)/6]+2[n(n+1)/2] =[n(n+1)/2][(n^2+n)/2+(2n+1)+2] =(1/4)n(n+1)(n^2+5n+6) =n(n+1)(n+2)(n+3)/4 即一般的求和公式为： S=n(n+1)(n+2)(n+3)/4. ∴n=10时，代入以上求和公式，得 1·2·3+2·3·4+……+10·11·12 =(10·11·12·13)/4 =390·11 =4290。
答：1*2+2*3+3*4+……+9*10 =1(1+1+2(2+1)+3(3+1)……+9(9+1) =(1^2+2^2+3^2+……+9^2)+(1+2+3+…...详情>>
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