函数题目已知函数f(x)=e^x-ax-1(a>0，e为自爱问知识人

函数题目

已知函数f(x)=e^x-ax-1(a>0，e为自然对数底数).
(1)求f(x)最小值；
(2)若f(x)≥0对任意x∈R恒成立，求实数a值；
(3)在(2)的条件下，证明:(1/n)^n+(2/n)^n+···+((n-1)/n)^n+(n/n)^n<e/(e-1)(其中，n∈N*)。

s***

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  (1)由题意a>0，f'(x)=e^x-a，
f'(x)=0→x=㏑a。
当x∈(-∞，㏑a)时，f'(x)0。
∴f(x)在(-∞，+㏑a)上单调递减，在(㏑a，+∞)上单调递增。
即f(x)在x=㏑a处取得极小值，且为最小值，
其最小值为:f(a)=a^㏑a-a㏑a-1=a-a㏑a-1。
  
(2)f(x)≥0对任意x∈R恒成立，即在x∈R上，f(x)|min≥0。
由(1)，设g(a)=a-a㏑a-1→g(a)≥0。
g'(a)=1-㏑a-1=0→a=1。
易知g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
∴g(a)在a=1处取得最大值，
而g(1)=0，故g(a)≥0的解为a=1。
  
∴a=1。
(3)由(2)知，对任意实数x均有
e^x-x-1≥1→1+x≤e^x。
令x=-k/n(n∈R＊，k=0，1，2，3，···，n-1)，
则0<1-k/n≤e^(-k/n)。
∴(1-k/n)^n≤[e^(-k/n)]^n=e^(-k)。
  
∴(1/n)+(2/n)^n+···+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n
  
证毕。
。

柳***

2013-03-03 16:50:44

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(1)求导
f'(x)=e^x-a=0
x=lna
xlna,f'(x)>0
f(lna)=a-alna-1
(2)a-alna-1=0
设g(x)=x-xlnx
g'(x)=lnx
g(1)=0
g'(1)=0
x1 g'(x)>0
g(x)最小值g(1)=0
故g(x)=0有唯一解x=1
即a=1
(3)由（2）e^x ≥ x + 1
(1/n)^n = (1 + (1 - n)/n)^n < e^(1-n)
(2/n)^n = (1 + (2 - n)/n)^n < e^(2-n)
....
左右两边分别相加
右边用等比数列求和，得证

3***

2013-02-22 14:40:29

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