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2005-09-02 21:13:05

• 在边长为c正方形中,有四个斜边为c的全等直角三角形,已知他们的直角边长为a,b.
  由于本人不懂如何用电脑画图,所以请楼主自己画一个,很简单的
  证明:S正=4*S三+S小正
       c^2=4*(1/2)ab+(a-b)^2
          =2ab+a^2+b^2-2ab 
          =a^2+b^2
  这定理是由我国古代数学家赵爽证明的.
  方法有很多,可惜图画不出来.
  

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  独***

  2005-09-02 21:13:05

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2005-09-02 21:03:08

•   中间有一些符号实在是打不出来，请见谅
  证法1】（课本的证明）
  做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。
  从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。
     即
  a^2+b^2+4×ab/2=c^2+4×ab/2， 整理得  a^2+b^2=c^2。
   
  【证法2】（邹元治证明）
  以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上。
    
  ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, 
  ∴ ∠AHE = ∠BEF。
  ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,
  ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º。
  ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º。
    
  ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的
  正方形。 它的面积等于c2。 
  ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, 
  ∴ ∠HGD = ∠EHA。
  ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
  ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º。
    
  又∵ ∠GHE = 90º,
  ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º。
  ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2 。
  ∴(a+b)^2=4×ab/2+c^2 。
        ∴a^2+b^2=c^2 。
   
   
  【证法3】（赵爽证明）
  以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜
  边作四个全等的直角三角形，则每个直角
  三角形的面积等于 。 把这四个直角三
  角形拼成如图所示形状。 
  ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, 
  ∴ ∠HDA = ∠EAB。
    
  ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，
  ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，
  ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2。
  ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
  ∠HEF = 90º。
    
  ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 。
  ∴4×ab/2+(b-a)^2=c^2 。
  ∴a^2+b^2=c^2 。
  【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
  以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。
     把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上。 
  ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, 
  ∴ ∠ADE = ∠BEC。
  ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,
  ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º。
     
  ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º。
  ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
  它的面积等于c^2/2 。
  又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,
  ∴ AD∥BC。
    
  ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于(a+b)^2/2 。
  ∴(a+b)^2/2=2×ab/2+c^2/2 。
  ∴a^2=b^2=c^2 。
   
  【证法5】（梅文鼎证明）
  做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c。
     把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。 过C作AC的延长线交DF于点P。 
  ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
  ∴ ∠EGF = ∠BED，
  ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
  ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
  ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º。
    
  又∵ AB = BE = EG = GA = c，
  ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 
  ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º。
  ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
  ∴ ∠ABC = ∠EBD。
  ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º。
     
  即   ∠CBD= 90º。
  又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，
  BC = BD = a。
  ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
  同理，HPFG是一个边长为b的正方形。
  设多边形GHCBE的面积为S，则
  a^2+b^2=S+2×ab/2,c^2=S+2×ab/2
    ∴  a^2+b^2=c^2 。
    
   
  【证法6】（项明达证明）
  做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c。 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上。
  过点Q作QP∥BC，交AC于点P。
     
  过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
  F作FN⊥PQ，垂足为N。 
  ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC，
  ∴ ∠MPC = 90º，
  ∵ BM⊥PQ，
  ∴ ∠BMP = 90º，
  ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º。
    
  ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，
  ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，
  ∴ ∠QBM = ∠ABC，
  又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，
  ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA。
    
  同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF。
  从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）。
   
  【证法7】（欧几里得证明）
  做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
  BF、CD。 过C作CL⊥DE，
  交AB于点M，交DE于点
  L。
     
  ∵ AF = AC，AB = AD，
  ∠FAB = ∠GAD，
  ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
  ∵ ΔFAB的面积等于a^2/2 ，
  ΔGAD的面积等于矩形ADLM
  的面积的一半，
  ∴ 矩形ADLM的面积 = a^2。
  同理可证，矩形MLEB的面积 =b^2 。
    
  ∵ 正方形ADEB的面积 
  = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
  ∴ c^2=a^2+b^2 ，即a^2+b^2=c^2 。
   
  【证法8】（利用相似三角形性质证明）
  如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。
     
  在ΔADC和ΔACB中，
  ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，
  ∠CAD = ∠BAC，
  ∴  ΔADC ∽ ΔACB。
  AD∶AC = AC ∶AB，
  即AC^2=AD×AB
  同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有BC^2=BD×AB 。
    
  ∴AC^2+BC^2=(AD+BD)×AB=AB^2 ，即 a^2+b^2=c^2。
   
  【证法9】（杨作玫证明）
  做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c。 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形。
     过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R。 过B作BP⊥AF，垂足为P。 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H。
  ∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，
  ∴ ∠DAH = ∠BAC。
    
  又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，
  AD = AB = c，
  ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA。
  ∴ DH = BC = a，AH = AC = b。
  由作法可知， PBCA 是一个矩形，
  所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA。
     即PB = 
  CA = b，AP= a，从而PH = b―a。  
  ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,
  RtΔDHA ≌ RtΔBCA。
  ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA 。
  ∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA 。
     
  又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，
  ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，
  ∴ DGFH是一个边长为a的正方形。  
  ∴ GF = FH = a 。
     TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a 。
  ∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）。
  用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
      c^2=S1+S2+S3+S4+S5               ①
  ∵ S8+S3+S4 =(b+(b-a))(a+b-a)/2=b^2-ab/2 ，
  S5=S8+S9，
  ∴S3+S4 =b^2-ab/2-S8=b^2-S1-S8  。
         ②
  把②代入①，得
  c^2= S1+S2+b^2-S1-S8+S8+S9 = b^2+S2+S9。
  ∴a^2+b^2=c^2   。
   
  【证法10】（李锐证明）
  设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c。
     做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上。 用数字表示面积的编号（如图）。
  ∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90º，
  ∴ ∠TBH = ∠ABE。
  又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，
  BT = BE = b，
  ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE。
    
  ∴ HT = AE = a。
  ∴ GH = GT―HT = b―a。
  又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，
  ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，
  ∴ ∠GHF = ∠DBC。
  ∵ DB = EB―ED = b―a，
  ∠HGF = ∠BDC = 90º，
  ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC。
     即 。
  过Q作QM⊥AG，垂足是M。 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE
  = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM 。 又RtΔHBT ≌ 
  RtΔABE。 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM 。
     即 。 
  由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE。 
  ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，
  ∴ ∠FQM = ∠CAR。
    
  又∵  ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，
  ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC。 即S4=S6 。
  ∵c^2=S1+S2+S3+S4+S5 ，a^2=S1+S6 ，b^2+S3+S7+S8 ，
  又∵ S7=S2，S8=S5 ，S4=S6 ，
  ∴ a^2+b^2
  = S1+S6+S3+S7+S8
  =S1+S4+S3+S2+S5=c^2 ，
  即a^2+b^2=c^2 。
    
   
   
  【证法11】（利用切割线定理证明）
  在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c。 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a。 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线。
     由切割线定理，得
  AC^2
  = AE×AD
  = (AB+BE)(AB-BD)
  =(c+a)(c-a)=c^2-a^2 ，
  即b^2=c^2-a^2 ，
  ∴ a^2+b^2=c^2。
   
  【证法12】（利用多列米定理证明）
  在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）。
     过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆。 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
  AB×DC=AD×BC+AC×BD，
  ∵ AB = DC = c，AD = BC = a，
  AC = BD = b，
  ∴AB^2=BC^2+AC^2 ，即c^2=a^2+b^2 ，
  ∴a^2+b^2=c^2 。
    
   
  【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
  在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c。 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r。
  ∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
  ∴AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF) 
  = CE+CD= r + r = 2r,
  即a+b+c=2r ，
  ∴a+b=2r+c 。
    
  ∴(a+b)^2=(2r+c)^2 ，
  即a^2+b^2=4(r^2+rc)+c^2 ，
  ∵S(ABC)=ab/2 ，
  ∴2ab=4S(ABC) ，
  又∵S(ABC)  = S(AOB)+S(BOC)+S(AOC) = cr/2+ar/2+br/2
  = (a+b+c)r/2 =(2r+c+c)r/2=c^2+rc ，
  ∴4(r^2+rc)=4S(ABC) ，
  ∴4(r^2+rc)=2ab ，
  ∴ a^2+b^2+2ab=2ab+c^2，      ∴a^2+b^2=c^2 。
    
  【证法14】（利用反证法证明）
  如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。 
  假设a^2+b^2≠c^2 ，即假设 AC^2+BC^2≠AB^2，则由
  AB^2=AB·AB=AB(AD+BD)=AB·AD+AB·BD 
  可知AC^2≠AB·AD ，或者BC^2≠AB·AD 。
     即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB。
  在ΔADC和ΔACB中，
  ∵ ∠A = ∠A，
  ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则
  ∠ADC≠∠ACB。
  在ΔCDB和ΔACB中，
  ∵ ∠B = ∠B，
  ∴ 若BD：BC≠BC：AB，则
  ∠CDB≠∠ACB。
    
  又∵ ∠ACB = 90º，
  ∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º。
  这与作法CD⊥AB矛盾。 所以， 的假设不能成立。
  ∴a^2+b^2=c^2 。
   
  【证法15】（辛卜松证明）
   设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c。
     作边长是a+b的正方形ABCD。  把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为  = (a+b)^2=4×ab/2+c^2=2ab+c^2。
    
  ∴ a^2+b^2+2ab=2ab+c^2 ,
  ∴a^2+b^2=c^2   。
   
  【证法16】（陈杰证明）
  设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c。 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上。
     用数字表示面积的编号（如图）。
  在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，
  则 AD = c。
  ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，
  ∴ DM = EM―ED = ―a = b。
  又∵ ∠CMD = 90º，CM = a，
  ∠AED = 90º， AE = b，
  ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC。
    
  ∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c。
  ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，
  ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，
  ∴ ∠ADC = 90º。
  ∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形。
    
  ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE  + ∠FAD = 90º，
  ∴ ∠BAF=∠DAE。
  连结FB，在ΔABF和ΔADE中，
  ∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，
  ∴ ΔABF ≌ ΔADE。
    
  ∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a。
  ∴ 点B、F、G、H在一条直线上。
  在RtΔABF和RtΔBCG中，
  ∵ AB = BC = c，BF = CG = a，
  ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG。
    
  ∵c^2=S2+S3+S4+S5 ，b^2=S1+S2+S6  ， a^2=S3+S7 ，               
   S1=S5=S4=S6+S7 ，
  ∴ a^2+b^2=S3+S7+S1+S2+S6
  = S2+S3+S1+(S6+S7)
  = S2+S3+S4+S5
  = c^2
  ∴  a^2+b^2=c^2 。
    
  。

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  1***

  2005-09-02 21:03:08

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2005-09-02 20:55:34

• 我记得人教版初中几何课本上讲过,现在记不得了,你可以去翻翻看,方法真的很多

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  ヤ***

  2005-09-02 20:55:34

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