一般人绝对不会的数学题
三角形ABC和三角形DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,角CBA=角DBC=120度,求: 1,AD的连线和平面BCD所成的角 2,AD的连线与直线BC所成的角 3,二面角A-BD-C的大小 (请写明具体步骤)
解: 过A作CB的延长线的垂线AE,并且连接DE。(因为角ABC是钝角,所以垂足E一定落在CB的延长线上)。 1)因为平面ABC垂直于平面DBC,所以AE垂直于平面DBC。设钝角△的腰长AB=BC=m,则AC=√3m。同理DC=√3m。在直角△AEB中AB=m,∠ABE=180-120=60°, 因此AE=m√3/2,BE=m/2。
按照三垂线定理的逆定理,有DE垂直于EC,直角△AED中,AE=DE=m/2。(全等三角形AEC和DEC的对应边相等)。因此∠ADE=45°。就是说直线AD与其射影ED的角是45°,所以直线AD与平面BBC的角也是45°。 2)因为BC垂直于平面AED(前已证BC同时垂直于AE,DE),所以AD垂直于BC。
故AD与BC的角是直角。 3)过E作BC的垂线EG,G是垂足。在直角△BED中,直角边BE=m/2;DE=m√3/2。所以斜边BD上的高EG=BE*DE/DC=m√3/4。 根据三垂线定理得知BD⊥AG。所以∠AGE是二面角A-BD-E的平面角, 因为tanAGE=AE/EG=(m√3/2)/(m√3/4)=2。
所以A-BD-E的平面角是arctan2, 它的补二面角A-BD-C=π-arctan2。
解：如图： ①作AH⊥BC交CB的延长于H， 由面ABC⊥面BCD得AH⊥面BCD， 故∠ADH为AD与平面BCD所成的角． 由题设知△AHB≌△DHB，故DH⊥HB，AH=DH，∠ADH=45°为所求． ②∵AH⊥面BCD，DC⊥DH， 由三垂线定理得BC⊥AD，AD和BC所成角为90°． ③作HR⊥BD于R，连结AR， 由三垂线定理AR⊥BD， 故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角． 设BC＝α， 则由题设得AH＝DH＝（√3/2）α，HB＝（1/2）α． 在Rt△HDB中，得HR＝（√3/4）α， ∴ tan∠ARH＝AH/HR＝2， 故二面角A—BD—C为π-arctan2。
如图，三角形ABC≌三角形DBC,∠1=∠2=30度 1、作AM⊥BC，∵ABC⊥DBC,∴AM⊥DBC AD和平面BCD所成的角=∠ADM tg∠ADM=AM/DM=(AC/2)/(DC/2)=1------>AD和平面BCD所成的角=∠ADM=45度 2、AM⊥DBC--->AM⊥DM,又AM⊥BC，∴BC⊥ADM--->BC⊥AD --->AD的连线与直线BC所成的角=90度 3、在三角形DBC中作BF⊥BD交CD于F,在三角形DBA中作BE⊥BD交AD于E, 则：二面角A-BD-C=∠EBF 设AB=BC=BD=2， --->AC=CD=2√3,AM=DM=√3,AD=√6 cos∠ADB=(AD/2)/BD=BD/DE--->DE=2BD^/AD=8/√6 BE^=DE^-BD^=32/3-4=20/3,BE=2√5/√3 同理--->DF=4/√3,BF=2/√3 cos∠ADC=(AD/2)/CD=√2/4 EF^=DE^+DF^-2DE*DF*cos∠ADC=32/3+16/3-16/3=32/3 ∴cos∠EBF=(BE^+BF^-EF^)/2BE*BF=(20/3+4/3-32/3)/(8√5/3)=-√5/5 。
首先假设 AB=BC=BD=1，这样计算方便。 1。如图做BC延长线，做AE垂直于BC。 由三角形AEB和三角形AED全等，可证DE垂直BC，AE=DE。 所以角ADE即为所求。 因为三角形ABC和三角形DBC所在的平面互相垂直，所以AE垂直于DE，且AE=DE 所以角ADE=45度 2。
因为上边证得BC垂直于AE和DE，所以BC垂直于AED所成平面， 所以，AD垂直于BC 3。从E做DB垂线交于F点，因为E是点A在平面CBD上的投影，所以可知AF垂直 于DB。所以角AFE即为平面ADB和CDB的夹角。 EB=cos60 * AB =0。
5, FB=COS60 * EB =0。25 所以，AF=AB^2-BF^2的开方=0。968 AE=AB*sin60=0。866 sinAFE=AE/AF=0。8944 所以，角AFE=63。43度 平面ADB和CDB的夹角为63。
43度。
答：如图所示, ∵ AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=60°,∴ △ABC,△BCD都是正△,设其边长为2a,E为BC的中点,则AE=DE=√3a,且AE⊥BC...详情>>
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