一道数学题
将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中，每个盒子只放入一个， ① 一共有多少种不同的放法？ ② 若编号为1的球恰好放在了1号盒子中，共有多少种不同的放法？ ③ 若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入)，共有多少种不同的放法？
① 共有5×4×3×2×1＝120种不同的放法。 ② 共有4×3×2×1＝24种不同的放法。 ③ 从五个球中选定一个球，有5种选法，将它放入同号的盒子中 (如将1号球放入1号盒子)，其余的四个球随意放，有24种放法，这样共有5×24＝120种放法。
但这些放法中有许多种放法是重复的，如将两个球放入同号的盒子中(例如1号球和2号球分别放入1号盒子、2号盒子中)的放法就计算了两次，这样从总数中应减去两个球放入同号的盒子中的情况，得120－60＝60(种)。 很明显，这样的计算中，又使得将三个球放入同号的盒子中(例如1号球、2号球和3号球分别放入1号盒子、2号盒子和3号盒子中)的放法少计算了一次，于是前面的式子中又要加入20种， 再计算四个球、五个球放入同号盒子的情况，于是再减去四个球放入同号盒子中的情况，最后加上五个球放入同号中的情况。
整个式子为120－60＋20－5＋1＝76(种)。 。
① 共有5×4×3×2×1＝120种不同的放法。 ② 共有4×3×2×1＝24种不同的放法。 ③ 从五个球中选定一个球，有5种选法，将它放入同号的盒子中 (如将1号球放入1号盒子)，其余的四个球随意放，有24种放法，这样共有5×24＝120种放法。 下面再考虑放错的情况 假设1号盒放错，则共有4种情况，分别为2，3，4，5号球。 再想二号盒的情况，如果二号盒放的是一号球，则有两种方法，如果放的是三、四、五号球，则各有三种方法。共计为2+3*3=11种 而一号盒只可能放四种球，每种球都有11种，所以共有11*4=44种 整个式子为120-44＝76(种)。 （对于其他盒子放错的情况，可以将其看作第一盒） （当一号盒放入几号球时，就要从放入球所对应的盒来算较为方便）。
又是你这个小学生。我再好好用小学方法跟你解释。你这是在学乘法原理吧！ （1）第一个盒有5种放法。放完第一个盒后，放第2个盒，因为已经放了一个球在1号盒，所以第二个盒有4中选择。依此类推，根据乘法原理，5*4*3*2*1=120（种） （2）第一个盒子只能放1号球，所以只有一种选择，2号盒有4种，依此类推，有4*3*2*1=24（种） （3）这个比较麻烦。我认为较好的方法是120-全错。若全错，那么1号盒可放2、3、4、5号球，共4种。假设1号盒放2号球，那么通过枚举法，2号盒放1号球有2种，放3、4、5号球各3种，共有2+3*3=11（种）。同理1号盒放3、4、5号球也都是11种，共11*4=44（种） 120-44=76（种） 附：你是在学奥数吗？好可爱。问了那么多问题。哥哥以前也学奥数，觉得帮助很大。以后可以常联系。我的 。邮箱zhangguoli_thomas@
1.共有5×4×3×2×1＝120种不同的放法。 2.共有4*3*2*1=24种 3.共是10=20+45+1=76种
这是最简单的排列组合，高中就会学 1、5*4*3*2*1=120种 2、1*4*3*2*1=24种 3、当然只有一种
①： 将第一个球先放入，有5种不同的的方法，再放第二个球，这时以4种不同的放法，依此类推，放入第三、四、五个球，分别有3、2、1种放法，所以总共有5×4×3×2×1＝120种不同的放法。 = 2 * GB3 ② ：将1号球放在1号盒子中，其余的四个球随意放，它们依次有4、3、2、1种不同的放法，这样共有4×3×2×1＝24种不同的放法。
= 3 * GB3 ③ ：在这120种放法中，排除掉全部不对号的放法，剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数。 为研究全部不对号的放法种数的计算法，设A1为只有一个球放入一个盒子，且不对号的放法种数，显然A1＝0，A2为只有二个球放入二个盒子，且不对号的放法种数，∴ A2＝1，A3为只有三个球放入三个盒子，且都不对号的放法种数，A3＝2，……，A n为有n个球放入n个盒子，且都不对号的放法种数。
下面我们研究A n+1的计算方法，考虑它与A n及A n－1的关系， 如果现在有 n个球已经按全部不对号的方法放好，种数为A n。取其中的任意一种，将第n＋1个球和第n＋1个盒子拿来，将前面n个盒子中的任一盒子(如第m个盒子)中的球(肯定不是编号为m的球)放入第n＋1个盒子，将第n＋1个球放入刚才空出来的盒子，这样的放法都是合理的。
共有n A n种不同的放法。 但是，在刚才的操作中，忽略了编号为m的球放入第n＋1个盒子中的情况，即还有这样一种情况，编号为m的球放入第n＋1个盒子中，且编号为n＋1的球放入第m个盒子中，其余的n－1个球也都不对号。于是又有了nA n－1种情况是合理的。
综上所述得A n＋1＝nA n＋nA n－1＝n(A n＋A n－1)。 由A1=0, A2=1, 得A3=2(1＋0)=2, A4＝3(2＋1)=9, A5＝4(9＋2)=44。 所以至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数为全部放法的种数减去五个球都不对号的放法种数，即120－44＝76种。
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答：如果他能适应于大部分人，就是对的，而且也没有新的方法取代他详情>>
