数学:双曲线问题
3。已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率e=2√3/3,过点A（0,-b)和B(a,0)的直线与原点距离为√3/2。 (1)求此双曲线的方程。 (2)直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与该双曲线交于不同的两点C，D。若|AC|=|AD|。求m取值范围。
已知双曲线x^/a^-y^/b^=1(a>0,b>0)的离心率e=2√3/3, 过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点距离为√3/2。 (1)求此双曲线的方程。 (2)直线y=kx+m(km≠0)与双曲线交于不同的两点C，D。若|AC|=|AD|。
求m取值范围。
(1)e=c/a=2√3/3--->3c^=4a^=3(a^+b^)--->a^=3b^ 过点A（0,-b)和B(a,0)的直线l:x/a-y/b=1,即：bx-ay-ab=0 d(O,l)=|0-0-ab|/√(a^+b^)=√3/2--->3(a^+b^)=4a^b^ --->3(3b^+b^)=4*3b^b^--->b^=1--->b=1--->a=√3 --->双曲线的方程: x^/3-y^=1 (2)设坐标 C(xC,yC),D(xD,yD),CD的中点M(s,t), A(0,-1) --->2s=xC+xD, 2t=yC+yD, CD的斜率k=(yC-yD)/(xC-xD) C,D在双曲线上--->xC^/3-yC^=1, xD^/3-yD^=1 两式相减：(xC+xD)(xC-xD)/3-(yC+yD)(yC-yD)=0 --->(yC-yD)/(xC-xD)=k=s/(3t) |AC|=|AD|,M是CD的中点--->AM⊥CD--->k(AM)=-1/k --->(t+1)/s=-(3t)/s--->t+1=-3t--->t=-1/4 --->s=(3t)k=-(3/4)k ∵M在CD上，t=ks+m--->-1/4=-(3/4)k^+m--->m=(3/4)k^-1/4 将直线y=kx+m带入。
