奥数竞赛
一、选择题(每小题5分，共50分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．
1．若a，b均为正整数，m=ab(a+6)，则( )
(A)m一定是奇数． (B)m一定是偶数．
(C)只有当a，b均为偶数时，m是偶数．
(D)只有当a，b一个为偶数，另一个为奇数时，m是偶数．
2．设b<n<0， ，则 等于( )
(A) (B)一 ． (c)一3． (D)3．
3．Given a，b，C are positive integers，and a，b are prime numbers ，then the value of a+b+C is( )
(A)14． (B)13． (C)12． (D)11．
(英汉词典positive integer：正整数．prime number：质数．)
4．购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需( )
(A)4．5元． (B)5元． (C)6元． (D)6．5元．
5．计算机将信息转换成二进制数来处理．二进制是“逢二进一”，如二进制数(1101)：转换成十进制数是1×2 +1×2 +0×2 +1×2 =13，那么二进制数 。转换成十进制数是
(A)2 …+1． (B)2 ． (C)2 一1． (D)2005+1．
6．已知△ABC的三个内角的比是m：(m+1)：(m+2)，其中m是大于1的正整数，那么
△ABC是( )
(A)锐角三角形． (B)直角三角形． (C)钝角三角形． (D)等腰三角形．
7．已知△ABC的三条高的比是3：4：5，且三条边的长均为整数，则△ABC的边长可能是( )
(A)10． (B)12． (C)14． (D)16．
8．已知两位数 能够被3整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字．这样的两位数共有( )．
(A)1个． (B)3个． (C)4个． (D)5个．
9、放成一排的2005个盒子中共有4010个小球，其中最左端的盒子中放了b个小球，最右端的盒子中放了6个小球，如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个，则( )
(A)a=6=2. (B)a=b=1． (C)a=1，b=2． (D)a=2，b=1．
10、已知整数x，y，z满足x≤y<z，且 那么
的值等于( )
(A)2. (B)14． (C)2或14． (D)14或17．
二、填空题(每小题5分，共50分．含两个空的小题，前空3分，后空2分．)
11、如果 ，那么 的绝对值等于______．
12、已知 ，则
3、某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶善。千米，则11：20时距离B地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶寻。千米，则11点到达，若每分钟行驶口千米，则11：20时已经超过B地30千米．A．B两地的路程是______千米．
14、若M= 是一个六位数，其中a，b，c是三个互异的数字，且都不等于0，1，2，3，又M是7的倍数，那么M的最小值是______．
15．分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+ =_______．
16．若在凸n(n为大于3的自然数)边形的内角中，最多有M个锐角，最少有优个锐角，则M=_______；m=_______.
17、如图1，等腰Rt△ABC的直角边长为32，从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D，，再从D 作 交Ac于D ，再从D 作 上BC交D ，…，则
18、如图2，将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3(其中EF∥Bc)，已知图3的面积与原三角形的面积之比为3：4，且阴影部分的面积为8平方厘米，则原三角形面积为______平方厘米．
19．如图4，△ABC中，BC：AC=3：5，四边形BDEC ACFG均为正方形，已知△ABC与正方形BDEC的面积比是3：5，那么△CEF与整个图形的面积比等于______．
20、如果正整数n有以下性质：”的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么”就称为“希望数”，则最小的希望数是______．
三、解答题(每题10分，共30分) 要求：写出推算过程•
21．图5是一个长为400米的环形跑道，其中A、B为跑道对称轴上的两点，且A、B之间有一条50米的直线通道．甲、乙两人同时从A点处出发，甲按逆时针方向以速度矾沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度奶沿跑道跑步，当跑到B点处时沿直线通道跑回到A点处．假设两人跑步时间足够长．求：
(1)如果 =3：2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇?
(2)如果 =5：6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B点处相遇?
图5
22．(1)如果a是小于20的质数，且 可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个?
(2)如果。是小于20的合数，且 可化为一个循环小数，那么n的取值有哪几个?
23．如图6，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的动点，连结PB和PD得到△PBD．求：
(1)当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长；
(2)△PBD的周长的最小值．
每题都要有详解
