（1）A^2=A，所以A(A-E)=0 所以r(A)+r(A-E)=r(A+E-A)=r(E)=n 所以 r(A)+r(A-E)=n
提问有违基本知识，矩阵是矩阵，矩阵的范数是与之有关的一个非负的数值。可参考泛函分析中的基本知识。
1.A*A=|A|E=0,若|A*|≠0， 则A=（A*）^(-1)0=0，则A*=0，矛盾， 所以|A*|=0。 2。|A|≠0 A*A=|A|E, |A*A|=||A|E|=*|=|A|^(n)=|A*||A|, 所以|A*|=|A|^(n-1)。
可以有好多证明。 证：(E+A)^m=0, E+A是幂零的，所以E+A的特征值全为0。因此A的特征值全为-1，因此|A|=(-1)^n不为0。所以A可逆。 证：设B=E+A, 那么B^m=0. (E-B)(B^(m-1)+B^(m-2)+....+B+E)=E-B^m=E. 所以E-B可逆，其逆为B...
利用拉普拉斯定理即可。
AB=A-B AB-A+B-I=-I (A-I)(B+I)=-I (B+I)(A-I)=-I BA-A+B-I=-I BA=A-B 所以AB=BA
AB=A-B AB-A+B-I=-I (A-I)(B+I)=-I (B+I)(A-I)=-I BA-A+B-I=-I BA=A-B 所以AB=BA
A^3 = 0; (A-nI)*(A^2 + n^2I +nA) = A^3 - n^3I = -n^3I; A-nI = -n^3(A^2 + n^2I + nA)^(-1); A-In是可逆阵.
1. 任意非零n维向量X 有n阶方阵B使,BY=0Y=aX ==> ABX=0=BAX ==> AX=aX ==> 任意非零n维向量X都是A的特征向量. 2. 任意2个线性无关向量X,Y ==> A(X+Y)=a(X+Y)=AX+AY=bX+cY ==> a=b=c ==> A只有唯一特征值a. =...
A为n阶可逆方阵, 1=|I|=|A A^(-1)|=|A||A^(-1)| ==> |A^(-1)|=1/|A| 根据：A^(-1)=(A*)/|A| ==>A*= |A|A^(-1) ==> A*=| |A|A^(-1)|= |A|^n |A^(-1)|=|A|^n/|A|=|A|^(n-...
A^2-3A+2E=0==》 A的最小多项式整除x^2-3x+2=(x-1)(x-2) ==>A的最小多项式无重根。 ==》A相似于一个对角矩阵。
补充: |A|≠0的答案见zhh2360. 当|A|=0,则A*A=0.如果A*可逆,则A=0从而A*=0,矛盾. 故A*不可逆,即|A*|=0,仍有|A*|=|A|^(n-1)
解答在图片里：
记A的逆为a，B的逆为b 如果|I-BA|=0, 则|aA-BA| = |(a-B)A|=0; |I-AB|=|Aa-AB|=|A(a-B)I|=|A(a-B)Aa|=|A||(a-B)A||a| 因为|(a-B)A|=0， 所以|I-AB|=|A||(a-B)A||a|=0； 同样，如果|I-AB...
错 应为：|kA|=|A|*k^n
移项： A^2=A+2E 两边同乘以A^(-2) 就得到： E=（A+2E)^A*(-2)
解：因为B=E+AB，所以（E-A)B=E 所以E-A,B都可逆 对B=E+AB右乘B-1，得E=B-1+A.左乘B,得B=E+BA 所以AB=BA B-C=E+AB-A-CA=E+BA-A-CA=（E-A）+(B-C)A 所以（B-C)(E-A)=E-A 右乘（E-A）-1 得B-C=E
|E+A|=|AA'+A|=|A(A'+E)|=|A||A'+E|=-|A'+E|=-|A'+E|=-|E+A| ∴2|E+A|=0 ==> |E+A|=0.
不成立，rank(A)≤n/2，利用Sylvester不等式rank(A)+rank(B)<=rank(AB)+n即得结论
反证法。 如果|A|≠0，则|A|就是矩阵A的最高阶非零子式了，因为没有更高阶的了。根据矩阵的秩的定义，A的秩就是n，与“A的秩小于n”矛盾。
A为n阶可逆方阵, 1=|I|=|A A^(-1)|=|A||A^(-1)| ==> |A^(-1)|=1/|A| 根据：A^(-1)=(A*)/|A| ==>A*= |A|A^(-1) ==> A*=| |A|A^(-1)|= |A|^n |A^(-1)|=|A|^n/|A|=|A|^(n-...
由 A^T = -A 两边取行列式得|A^T| = |-A|所以 |A| = (-1)^5|A| = -|A|所以 |A| = 0知识点:奇数阶反对称矩阵的行列式等于0.
A^2-3A+2E=0==》 A的最小多项式整除x^2-3x+2=(x-1)(x-2) ==>A的最小多项式无重根。 ==》A相似于一个对角矩阵。
