试证: 对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于常数k[k≥1] 。 证明 设矩形A及矩形B的长与宽分别为a，b及x，y。 为证明满足要求的矩形B存在， 只要证明方程组:[k,a,b均为已知] x+y=k(a+b) ， xy=kab。 有正数解即可。 由韦达定理，其解x，y可以看作二次方程: z^2-k(a+b)z+kab=0 (1) 的两个根。 下面证明这个二次方程必有两个正根。 因为k≥1，故其判别式: Δ=k^2*(a+b)^2-4kab≥k^2*(a+b)^2-4k^2*ab=k^2*(a-b)^2≥0 所以，方程有两个实根z1，z2。 又z1+z2=k(a+b)>0，z1*z2=kab>0， 从而z1>0，z2>0。证毕。
设矩形A，长、宽为a1、a2，则Sa=a1*a2，La=2(a1+a2)。 设矩形B，长、宽为b1、b2，则Sb=b1*b2，Lb=2(b1+b2)。 a1*a2:b1*b2=a1+a2:b1+b2=1:k。 b1+b2=k*(a1+a2)，b1*b2=k*a1*a2。 b1、b2是否存在，就看方程x^2-[k*(a1+a2)]x+k*a1*a2=0是否有正数根。 根据题意条件k≥1，所以 【-[k*(a1+a2)]】^2-4*k*a1*a2=k*[k(a1-a2)^2+(4k-4)*a1*a2≥0。 说明方程有实根 由于[k*(a1+a2)]＞0，k*a1*a2＞0，说明方程的两个实根都是正数（不排除有重根即b1=b2的可能，如果a1=a2，且k=1）。
答：我只能想出来用数值方法来证明，不过不太严格． １） 随机生成三个点Ａ、Ｂ、Ｃ； 用作图函数画出ＡＢＣ，用三角形边框的颜色在三角形内部填色，然后数出颜色为上述颜色...详情>>
