过M作AC的平行线，过A作BC的平行线，两线交于Q。连结NQ。QM与BN交于S。
容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90º=∠MQA,
又AQ:QN=QM:QB,
∴△QAM∽△QNB,
∴∠AMQ=NBQ,
又∠PSM=∠QSB,
∴根据三角形内角和等于180，得
∠MPS=∠BQS，
∵∠BQS=45,
∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°，
参考:
证法一（初中知识证法）： 
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。
   
设AC=BM=X，MC=AN=Y，则 
BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y 
AM=√（AC^2+MC^2）=√（X^2+Y^2） 
过N点作NE⊥AM，交AM于E点，则△AEN∽△ACB 
AE/AN=AC/AM，NE/AN=MC/AM 
AE=AN*AC/AM=Y*X/√（X^2+Y^2） 
NE=AN*MC/AM=Y^2/√（X^2+Y^2） 
过P点作PF⊥BC，交BC于F点，则△PFM∽△ACM，△BPF∽△BNC 
PF/FM=AC/MC，PF=FM*AC/MC=FM*X/Y 
PF/BF=CN/BC，PF=BF*CN/BC=BF*（X-Y）/（X+Y） 
BF*（X-Y）/（X+Y）=FM*X/Y 
BF=（FM*X/Y）*[（X+Y）/（X-Y）]=FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）] 
BF=BM+FM=X+FM 
FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]=X+FM 
FM=XY*（X-Y）/（X^2+Y^2） 
PM/FM=AM/CM 
PM=FM*AM/MC=[XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）]*[√（X^2+Y^2）/Y] 
=X*（X-Y）/√（X^2+Y^2） 
PE=AM-AE-PM 
=√（X^2+Y^2）-Y*X/√（X^2+Y^2）-X*（X-Y）/√（X^2+Y^2） 
=Y^2/√（X^2+Y^2） 
=NE 
因为NE⊥AM，即NE⊥PE 
可知在直角△NEP中，NE=PE 
故 ∠EPN=45° 
但∠BPM=∠EPN 
所以∠BPM=45° 
证法二： 
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。
   
设AC=BM=X，MC=AN=Y，则 
BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y 
tan∠AMC=AC/MC=X/Y 
tan∠NBC=CN/BC=（X-Y）/（X+Y） 
∠AMC=∠BPM+∠NBC 
∠BPM=∠AMC-∠NBC 
tan∠BPM=tan（∠AMC-∠NBC） 
=（tan∠AMC-tan∠NBC）/（1+tan∠AMC*tan∠NBC） 
=[X/Y-（X-Y）/（X+Y）]/[1+（X/Y）*（X-Y）/（X+Y）] 
=[X*（X+Y）-Y*（X-Y）]/[Y*（X+Y）+X*（X-Y）] 
=（X ^2+Y ^2）/（X ^2+Y ^2） 
=1 
因为∠BPM<180° 
所以∠BPM=45° 
。