过椭圆9x^2+4y^2=36的一个焦点且斜率为2的直线被椭圆截得的弦长为|AB|，试求|AB|；
过椭圆9x^2+4y^2=36的一个焦点且斜率为2的直线被椭圆截得的弦长为|AB|，试求|AB|；并求弦AB中点M到该焦点的距离。
椭圆标准方程为：(x^2/4)+(y^2/9)=1
其中，a^2=9，b^2=4
所以，c^2=a^2-b^2=5
则焦点为F1(0,√5)，F2(0,-√5)
不妨设直线经过焦点F1(0,√5)，已知斜率为2
所以，直线方程为：y-√5=2(x-0)=2x
即，y=2x+√5
联立直线与椭圆方程有：9x^2+4(2x+√5)^2=36
===> 9x^2+4*(4x^2+4√5x+5)-36=0
===> 25x^2+16√5x-16=0
所以：
x1+x2=-(16√5)/25
x1*x2=-16/25
则，(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=576/125
那么，(y1-y2)^2=[(2x1+√5)-(2x2+√5)]^2=4(x1-x2)^2
所以，|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√5*|x1-x2|=√5*√(576/125)
=24/5
由x1+x2=-(16√5)/25得到：
y1+y2=(2x1+√5)+(2x2+√5)=2(x1+x2)+2√5
=(18/25)√5
所以：
(x1+x2)/2=(-8/25)√5
(y1+y2)/2=(9/25)√5
则，点M((-8/25)√5,(9/25)√5)
已知焦点F1(0,√5)
所以，|MF1|=√{[(8/25)√5]^2+[(16/25)√5]^2}=8/5。
本题是焦点弦问题,用椭圆的极坐标方程最简单,运算量最少. 椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的极坐标方程是ρ=b²/(a-ccos)α, 椭圆y²/a²+x²/b²=1的极坐标方程是ρ=b²/[a-ccos(α+π/2)],即 ρ=b²/(a+csinα). 设弦AB端点的极坐标为A(ρ1,α),B(ρ2,π+α),则 |AB|=ρ1+ρ2=b²/(a+csinα)+ρ=b²/(a-csinα)=2ab²/(a²-c²sin²α). 把a=3,b=2,c=√5,sinα=2/√5代入,得|AB|=24/5.
答：设椭圆方程为x^2+y^2/4=1过点m(0,1)的直线,l交椭圆于A.B两点,点P是弦A,B的中点. 解 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),...详情>>
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