几何-11
在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=20°,N为形内一点,且∠NAB=40°,∠NBC=30°,求∠NCB=?
在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=20°,N为形内一点,且∠NAB=40°,∠NBC=30°,求∠NCB=? 证明 过点N作AC的垂线与BA的延长线交于P,在AN延长线上取一点Q,使∠QBC=30°,连PC,QC,QB,PQ。 由∠PAC=70°=∠NAC,可知点P与点N是关于AC对称,即得:PC=CN。 由∠NAB=40°,∠ABC=50°,可知AQ⊥BC,即知点Q与点N是关于BC对称,即得:QC=CN,PC=QC。 易知△BQN是正三角形,即有NB=NQ。 由∠NPA=90°-∠PAC=20°=∠NBA,可知NP=NB,NP=NQ。 因此△PNC≌△QNC,可知∠NCP=∠NCQ,即2∠NCA=2∠NCB。 故得:∠NCA=∠NCB,从而∠NCB=∠ACB/2=10°.证毕。 参见:
解:作ND垂直AC于D,延长ND交BA延长线于E;延长AN交BC于F。 于题得,∠CAB=110°,所以,∠EAD=∠NAD=70°。 所以,∠DEA=∠DNA=20°。 所以,DE=DN=(1/2)EN。 因为,∠ABC=50°,∠NBC=30°, 所以,∠NAB=20°。所以EN=NB。 因为,∠NAB=40°,∠ABC=50°,所以,∠AFB=90°。 因为,∠NBC=30°,所以,NF=(1/2)NB=(1/2)EN=ND。 所以,N点∠ACB的平分线上,CN平分∠ACB。 所以∠NCB=10°(附图)
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