一道竞赛几何题
在平行四边形ABCD边AB,BC,CD,DA上分别取点K,L,M,N，如果所取这四个点为顶点的四边形KLMN的面积等于平行四边形ABCD的面积的一半，求证:四边形KLMN至少有一条对角线平行于平行四边形ABCD边。
证明 在平行四边形ABCD中，设∠DAB=θ,AD=a,AB=b。 则四边形KLMN的面积等于平行四边形ABCD的面积减去三角形△AKN, △BKL, △CLM, △DMN的面积之和。 由面积公式不难求得: △AKN的面积=(1/2)*AN*AK*sinθ， △BKL的面积=(1/2)*BL*(b-AK)* sinθ， △CLM的面积=(1/2)*(a-BL)*(b-MD)*sinθ， △DMN的面积=(1/2)*(a-AN)*MD* sinθ， 平行四边形ABCD的面积=ab* sinθ 所以四边形KLMN的面积等于 =(1/2)*ab*[1-(AN-BL)*(AK-MD)/ab]*sinθ。
另一方面,据已知条件,四边形KLMN的面积等于(1/2)*ab* sinθ。 比较四边形KLMN的面积的两种计算结果， 可见: (AN-BL)*(AK-MD)=0 于是，或者AN=BL， 从而LN∥AB; 或者KA=MD， 从而KM∥AD。
故命题得证。 。
答：证明: 连接B,D. 取BD中点0, 连接EO FO EO = AB/2 FO=CD/2 EO+FO=(AB+CD)/2 .......(1) 且 EO//AB...详情>>
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