过定点(20)的直线l与抛物线c
过定点(-2.0)的直线l与抛物线c:y=1/4x2交于A.B两点,若以OA . OB为两边作平行四过定点(-2.0)的直线l与抛物线c:y=1/4x2交于A.B两点,若以OA . OB为两边作平行四边形OAPB 求顶点P的轨迹方程
过定点(-2。0)的直线l与抛物线c:y=1/4x2交于A。B两点,若以OA 。 OB为两边作平行四边形OAPB 求顶点P的轨迹方程 首先，要保证过定点(-2,0)的直线l，与抛物线c有两个交点，那么l必定不垂直于x轴。所以，其斜率一定存在。
故，设过定点(-2,0)的直线为：y=k(x+2) 设交点A(x1,y1)、B(x2,y2) 因为四边形OAPB为平行四边形，那么： Kbp=Koa=y1/x1 Kap=Kob=y2/x2 所以，BP所在直线方程为：y-y2=(y1/x1)(x-x2) AP所在直线方程为：y-y1=(y2/x2)(x-x1) 点P即为上述两直线的交点，所以： (y1/x1)(x-x2)+y2=(y2/x2)(x-x1)+y1 ===> (y1/x1)x-(x2y1/x1)+y2=(y2/x2)x-(x1y2/x2)+y1 ===> [(y2/x2)-(y1/x1)]x=(x1y2/x2)-(x2y1/x1)-(y1-y2) ===> [(x1y2-x2y1)/(x1x2)]x=(x1^2y2-x2^2y1)/(x1x2)-(y1-y2) ===> (x1y2-x2y1)x=(x1^2y2-x2^2y1)-x1x2(y1-y2) 将y1=k(x1+2)、y2=k(x2+2)代入上式，整理得到： x=x1+x2……………………………………………………（1） y=y1+(y2/x2)(x-x1)=y1+y2………………………………（2） 联立直线y=k(x+2)与抛物线方程有： k(x+2)=(1/4)x^2 ===> x^2=4k(x+2) ===> x^2-4kx-8k=0 ===> x1+x2=4k 代入到(1)式有： x=4k 所以：k=x/4 而，y=y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2)+4k =(x/4)*x+x ===> y=(x^2/4)+x 此即为点P的轨迹方程。
其实，过A作y轴的垂线，垂足为E；过P作x轴的垂线，与过B作y轴的垂线相交于点F 很容易证明：Rt△AOE≌Rt△BPF 那么，就更容易得到： P点的坐标满足上述关系式，即： x=x1+x2 y=y1+y2。
解: 设过定点(-2,0)的直线为：y=k(x+2) ,把它代入x²=4y,得 x²-4kx-8k=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),AB的中点Q(x',y')也是OP的中点.x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2)+4k . ∴ x'=(x1+x2)/2=2k,y'=(y1+y2)/2=2(k²+2k) ∴ x=2x'=8k,y=2y'=4(k²+2k)这就是点P的轨迹的参数方程,消去参数k锝普通方程y=(x²/4)+x
答：1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),中点P(x,y),则(y1)²=4x1,(y2)²=4x2,相减得,(y1+y2)(y1-y2)...详情>>
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