初三
如图18,四边形ABCD中,E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形，连接AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形。
（1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时，四边形EFGH为菱形。
当四边形ABCD的对角线满足____时,四边形EFGH为矩形;
当四边形ABCD的对角线满足____时,四边形EFGH为正方形;
(2)探索三角形AEH、三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，加以证明；
（3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？
解：由已知得： EH=FG=BD/2 EH∥BD HG=GF=AC/2 HG∥AC 当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD时, ∵HG∥AC ∴HG⊥BD ∵EH∥BD ∴HG⊥EH 同理，HG⊥EF ∴ 四边形EFGH为矩形 当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD AC=BD时, 四边形EFGH为矩形， AC=BD=2EH=2HG=2FG=2EF ∴EH=HG=FG=EF ∴四边形EFGH为正方形 （3） 四边形ABCD的面积S=（S1+S2+S3+S4）/2=2 S1为三角形ABD面积。
S2为三角形CBD面积 S3为三角形BAC面积 S4为三角形DAC面积 Saeh=S1/4 Sfcg=S2/4 Shdg=S4/4 Sbef=S3/4 （相似三角形面积比等于相似比的平方△AEH∽△ABD EF/BD=1/2） 中点四边形EFGH的面积是T=S-（Saeh+Sfcg+Sbef+Shdg） =（S1+S2+S3+S4）/2-（S1+S2+S3+S4）/4 =（S1+S2+S3+S4）/4=S/4=1。
答：连接原四边形的对角线，形成四个小三角形、四个大三角形，各边中点的连线都是大三角形的中位线，都平行于对应底边，也就是两条对角线。（中位线性质：平行于第三边） 所以...详情>>
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