在△ABC中,己知∠A=2∠B，∠C是钝角，三边长a,b,c都是整数的三角形，求周长的最小值。 解 由∠A=2∠B,可得: a^2=b(b+c) (1) 根据正弦定理得: a/sinA=b/sinB=a/sin2B 故得：cosB=a/2b a^2b(b+2b)=3b^2 即得:a>√3*b (3) 故有 2b>a>√3*b。
设b=m^2，b+c=n^2，m,n∈N， 所以a^2=m*n，即 2m^2>mn>√3*m^2， 即 2m>n>√3*m，所以2m，√3*m有自然数n。 从而 2m-√3*m>1，即 m>1/(2-√3)>2+√3>3， 故m>=4。
当n=4时，b=16，8>n>4√3， 所以n=7，a=28，c=33。 a+b+c=16+28+33=77。 因此满足上述的条件的三角形的周长的最小值为77。 。
由正弦定理得： a/sinA=b/sinB，即a/(2sinBcosB)=b/sinB,得cosB=a/2b 另一方面由余弦定理可得： cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac),于是a/2b=(a^2+c^2-b^2)/(2ac), 可得a^2=b^2+bc 再由C为钝角可得a^2+b^2√3/2,即a>√3b 继而有a^22，所以a不可能是质数，所以a≥6，但若a≥2b，则4b^2≥b(b+c) 即3b≥c亦即a+b≤c不合！由此a不能被b整除，但a^2能被b整除(这表明b也是合数，甚至b为平方数）！ 设a=kb(k∈(√3,2)且为有理数)，可求出c=(k^2-1)b 以下考虑k的取值，k=n/3时不满足，k=n/5时只有k=9/5 令k=9/5,可得一组解a=45,b=25,c=56 所以该三角形周长最小为126 由上述过程可知，当k=n/m(m>5)时，也有这样的三角形，但其周长都比上述三角形周长大！。
答：1.周长=3+1-2x+8=12-2x一定为偶数 8-3<1-2x<8+3 -5<x<-2 所以x只能取-3，-4 周长最大值为x取-4时，周长20 2.关系式...详情>>
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