根据均值不等式 x+2y≥2√[x*(2y)]=2√(2xy）,当且仅当x=2y取等 两边平方得 (x+2y)^2≥8xy……（*） 将x=2y代入x+2y+2xy=8得 x+x+x^2=8 x^2+2x-8=0 (x+4)(x-2)=0 x1=-4(负值舍去),x2=2 所以x=2,y=x/2=1 由（*）知 (x+2y)^2≥8xy=8*2*1=16 两边开平方得 x+2y≥4 即x+2y的最小值是4
令x+2y=t，得t+2xy=8，而8xy=8 故t>=4(t=0(这是最基本的，由此可以衍生很多不等式出来）如8xy=0得到的。
X+2Y+2XY=X+2Y(1+X)=8====＞Y=(8-X)／(1+X) X+2Y+2XY=X(1+2Y)+2Y=8===＞X=(8-2Y)／(1+2Y) X+2Y=X+2(8-X)／(1+X)=-1+(1+X)+16／(1+X) ∵(1+X)+16／(1+X)≧2×√16=8 ∴此时X+2Y的最小值是-1+8=7 ----------------------------------------- X+2Y=(8-2Y)／(1+2Y)+2Y=-2+(1+2Y)+3／(1+2Y) ∵(1+2Y)+3／(1+2Y)≧2√3 ∴此时X+2Y的最小值是-2+2√3 ∴综上，X+2Y的最小值是-2+2√3
设x+2y=t,2y=t-x,代入原式： t+x(t-x)=8 t(1+x)=8+x^2 x>0 1+x>0 t=(8+x^2)/[1+x] 再换元 1+x=u t=[u^2-2u+9]/u=u+9/u -2>=2√9-2=6-2=4。 均值不等式。 t=4就是最小值，此时u=3,x=2,y=1. 处理这类题，也许可以考虑首先换元，然后转化成均值不等式的问题。当然，我觉得还是存在函数的方法解决的。
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