设x,y,z为不全为零的实数，求证 (2yz+2zx+xy)/(x^2+y^2+z^2)≤(√33+
设x,y,z为不全为零的实数，求证 (2yz+2zx+xy)/(x^2+y^2+z^2)≤(√33+1)/4 证明：只需考虑x≥0，y≥0,z≥0， 2yz+2zx+xy≤1/2xx+1/2yy+γyy+(1/γ)zz+(1/γ)zz+γxx…… 为什么要这样设γ？是怎么想到的？
设x,y,z为不全为零的实数，求证 (2yz+2zx+xy)/(x^2+y^2+z^2)≤(√33+1)/4 (1) 下面给出两种简证 (一),我们只需考虑x,y,z为非负情况。 设t>0，据A-G不等式得: x^2/2+y^2/2+t*y^2+z^2/t+z^2/t+t*x^2≥2yz+2zx+xy (t+1/2)*x^2+(t+1/2)*y^2+2z^2/t≥2yz+2zx+xy。
(2) 因为 t+1/2=2/t 2t^2+t-4=0，解得:t=(√33-1)/4。 即为 (√33+1)/4*(x^2+y^2+z^2)≥2yz+2zx+xy。 (二),下面用三元两次半定性条件来证明 对于x,y,z为不全为零的实数，求证: x^2+y^2+z^2≥t(2yz+2zx+xy) (3) 欲使式成立，只需使下面两式成立。
1-t^2≥0 4-4t^3-9t^2=0 4t^3+9t^2-4=0,(t+2)*(4t^2+t-2)=0。 解得符合条件的t=(√33-1)/8，(√33-1)/8<1。 故x^2+y^2+z^2≥[(√33-1)/8](2yz+2zx+xy) 即 (2yz+2zx+xy)/(x^2+y^2+z^2)≤(√33+1)/4。
答：本题有多种解法,下面用Cauchy不等式求解: xy+2yz+zt =(xy+zt)+(yz-tx)+(yz+tx) ≤根[2((xy+zt)^2+(yz-tx...详情>>
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