1。 凡是提到“范数”，一定是在向量空间上。带范数的向量空间称为赋范向量空间。两个赋范向量空间之间的某些线性算子的集合上也能定义线性结构，成为向量空间。比如所给例子中的赋值算子A。 2。 A作用于C([a,b])中任意向量（也就是[a,b]上的任一连续函数）f,结果是让f在点x_0取值。
A自然也是一个线性算子（或线性泛函）。实数集R作为赋范向量空间，其范数可以取绝对值。（问题：R上是否存在不等价的范数？）C([a,b])上的范数是由函数的上确界给出的。因为是连续函数，这和极大值等价。 3。 要看出例子中算子A的范数是1，首先需要了解到，如果C是B的子集，那么函数f在C上的上确界不超过其在B上的上确界。
如果是下确界则相反。定义算子范数的上确界，在全体非零向量上取和在全体单位向量上取是一样的，所以当|f|=max|f|=1时，自然有|A(f)|=|f(x_0)|<或=1。这表明A的范数不超过1。在空间C([a,b])中当然能找到极大值在x_0取到且等于1的连续函数，比如取值恒等于1的函数，则A(f)确实能取到1。
其上确界当然不小于1。这又表明A的范数至少是1。所以A的范数只能等于1。
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