中心在原点,焦点,在轴上的椭圆经过,且.求椭圆的方程.垂直于的直线与椭圆交于,两...
中心在原点,焦点,在轴上的椭圆经过,且.
求椭圆的方程.
垂直于的直线与椭圆交于,两点,当以为直径的圆与轴相切时,求直线的方程和圆的方程.
设,,则,,由,知,即。由此能求出椭圆的方程。
依题意,直线斜率为,由此设直线的方程为,由,得,记,,则,,圆的圆心为,半径,当圆与轴相切时,,由此能求出直线的方程和圆的方程。
解:设,,则,,
,,
。
设椭圆的方程为,
把代入,得,
整理,得,
解得,或(舍)
椭圆的方程为。
依题意,直线斜率为,由此设直线的方程为,
由,得,
由,
得。
记,,则,,
圆的圆心为,
半径,
当圆与轴相切时,,
则,
即,解得,
当时,直线方程为,
此时,,圆心为,半径为,
圆的方程为,
同理,当时,直线方程为,
圆的方程为。
本题考查直线方程,圆的方程和椭圆方程的求法,具体涉及到直线的性质,直线与圆锥曲线的位置关系,椭圆和圆的简单性质等基本知识。
解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化。
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