高数证明题
已知f(x)在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，f(0)=0, f(1)=1.
证明：一、存在t∈(0,1),使得f(t)=1-t
二、存在不同的两点p,q∈(0,1),f'(p)f'(q)=1
拜托，h(0)不等于0啊，而是等于1-f'(p)。 不过1-f'(p)<0,由零点存在定理可知，存在t∈(0,1),使得h(t)=0 ,再由罗尔中值定理，存在q∈(t,1),使得h'(q)=0
一、 令g(x)=f(x)-1+x，则它有如下性质： 1.在[0,1]内连续，在(0,1)内可导； 2.g(0)=-1，g(1)=1 于是由零点存在定理可知，存在t∈(0,1),使得g(t)=0 即f(t)-1+t=0 f(t)=1-t 二、 若f(x)=x恒成立，则结论显然，否则 存在p∈(0,1),使得f'(p)>1 令h(x)=f'(p)f(x)-x+1-f'(p) 则它具有性质： 1.在[0,1]内连续，在(0,1)内可导； 2.h(0)=0，h(1)=0 由罗尔中值定理，存在q∈(0,1),使得h'(q)=0 即f'(p)f'(q)-1=0 f'(p)f'(q)=1 由f'(p)>1可知f'(q)<1,即p≠q
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