简单证明
题目是这样。。 用闭区间套定理证明聚点定理。。 要如何证明了? 麻烦帮下。
假设A为有界无限点集,a1,b1为其上下界, 那么A包含于[a1,b1] 任取x1∈A,那么[a1,x1]和[x1,b1]必有一个含有无穷多个A中的点,取x2∈A,但x2≠x1; 不妨设是[x1,b1],取a2=(x1+b1)/2,则[x1,a2]和[a2,b1]必有一个含有A中的无穷多个点,取x3∈A,但x3≠x1,x2; 不妨设是[a2,b1],记为[a2,b2],取a3=(a2+b1)/2,则[a2,a3]和[a3,b1]必有一个含有A中的无穷多个点,记为[a3,b3]取x4∈A,但x3≠x1,x2,x3;……; 如法进行下去,我们得到一个A的子列 {x1,x2,……,xn,……},由区间套定理, 必存在一点x0,设使得x0属于每一个[ai,bi] 再由区间套的无限逼近可知, (这里可以用ε-N定义证明)x0即为A的子列{x1,x2,……,xn,……}的聚点, 当然,它也是A的一个聚点, 这表明,任何有界无限点集必有聚点!。
答:区间套定理: ① a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b1 ② lim(bn-an)=0,当n→+∞时 则存在唯一点P∈闭区间[an, bn],任取n∈N...详情>>
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