[四面体体积]
[四面体体积]已知在半径为2的球面上有ABCD四点，若AB=CD=2，求四面体ABCD体积最大值： （A）2√3÷3（二倍根号3除以3，以下雷同） （B）4√3÷3 （C）2√3 （D）8√3÷3 山路水桥先生的解答： 记AC、AD、BD、BC的中点为P、Q、M、N，则PQMN为菱形，边长为1. 且其面积为S=PQ*PN*sinα=sinα，α为异面直线AB和CD之间夹角。 设异面直线AB和CD的距离为H，则V(ABCD)=(2/3)*S*H=(2/3)H*sinα. 设球心为O，AB、CD的中点为E、F，则根据题意条件OA=AB=OB=2，以及OC=CD=OD=2，可知OE=OF=√3， 若E、O、F三点不共线，H≤OE+OF=2√3； 若E、O、F三点共线，OE⊥AB，OF⊥CD，即EF是异面直线AB和CD之公垂线，即H有最大值2√3。 另一方面，当AB⊥CD时，sinα有最大值1。 所以V(ABCD)|max=(4/3)√3. 不明白的地方有： 1。为什么“设异面直线AB和CD的距离为H”，则“V(ABCD)=(2/3)*S*H=(2/3)H*sinα. ”[由您的上文知您此处的S是PQMN的面积] ，可以说下您的结论的过程吗？ 2。关于“根据题意条件OA=AB=OB=2，以及OC=CD=OD=2，可知OE=OF=√3”这句我想提个假设（若A，B为球O上的不过球心O的任意两点，AB中点为C，则恒有OC⊥AB吗？感觉似乎是对的，想确认下的） 3第二问中关于“若E、O、F三点不共线，H≤OE+OF=2√3”怎么有“H≤OE+OF”呢？不用指明H是图中的哪一段都可以的，只想知道下怎么有“H≤OE+OF”结论。 有劳再帮下忙解答下，谢谢！
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1. 这是计算四面体体积的辛普森公式： V=（2/3）*H（两条异面对棱间的距离）*S（平行于此两条异面对棱，并介于此两条异面对棱正中间的截面平行四边形的面积）。 2. A,B为球面上任意两点，无论AB=2是否成立，△OAB中OA=OB，那么根据等腰三角形性质，对于底边AB之中点E，一定有OE⊥AB。 而这里AB=2，所以OE=√3。 3. 因为两条异面直线（图中AB和CD）之间的距离H，就是在与两条异面直线都相交的公垂线的线段之长（见图中PQ）。 ①E、F是两条异面直线上的两点，所以PQ≤EF， ②在△OEF中，有EF≤OE+OF， 所以PQ≤OE+OF，当E、O、F三点共线，EF就是两条异面直线的公垂线PQ。
答：如下图所示，O为球心，E,F分别为CD和AB的中点，EF是异面直线AB,CD的公垂线段，易知d=2OF=2√(22-12)=2√3.△ABE的面积S=AB×EF...详情>>
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