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2018-01-10 09:41:00

•   什么叫作矩阵
  矩阵乘法是线性代数中最常见的运算之一，它在数值计算中有广泛的应用。若A和B是2个nn的矩阵，则它们的乘积C=AB同样是一个nn的矩阵。A和B的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为:
  若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计算C的一个元素C[i,j]，需要做n个乘法和n-1次加法。
    因此，求出矩阵C的n2个元素所需的计算时间为0(n3)。
  60年代末，Strassen采用了类似于在大整数乘法中用过的分治技术，将计算2个n阶矩阵乘积所需的计算时间改进到O(nlog7)=O(n2。18)。
  首先，我们还是需要假设n是2的幂。
    将矩阵A，B和C中每一矩阵都分块成为4个大小相等的子矩阵，每个子矩阵都是n/2n/2的方阵。由此可将方程C=AB重写为:
  (1)
  由此可得:
  C11=A11B11 A12B21(2)
  C12=A11B12 A12B22(3)
  C21=A21B11 A22B21(4)
  C22=A21B12 A22B22(5)
  如果n=2，则2个2阶方阵的乘积可以直接用(2)-(3)式计算出来，共需8次乘法和4次加法。
    当子矩阵的阶大于2时，为求2个子矩阵的积，可以继续将子矩阵分块，直到子矩阵的阶降为2。这样，就产生了一个分治降阶的递归算法。依此算法，计算2个n阶方阵的乘积转化为计算8个n/2阶方阵的乘积和4个n/2阶方阵的加法。2个n/2n/2矩阵的加法显然可以在c*n2/4时间内完成，这里c是一个常数。
    因此，上述分治法的计算时间耗费T(n)应该满足：
  这个递归方程的解仍然是T(n)=O(n3)。因此，该方法并不比用原始定义直接计算更有效。究其原因，乃是由于式(2)-(5)并没有减少矩阵的乘法次数。而矩阵乘法耗费的时间要比矩阵加减法耗费的时间多得多。
    要想改进矩阵乘法的计算时间复杂性，必须减少子矩阵乘法运算的次数。按照上述分治法的思想可以看出，要想减少乘法运算次数，关键在于计算2个2阶方阵的乘积时，能否用少于8次的乘法运算。Strassen提出了一种新的算法来计算2个2阶方阵的乘积。他的算法只用了7次乘法运算，但增加了加、减法的运算次数。
    这7次乘法是:
  M1=A11(B12-B22)
  M2=(A11 A12)B22
  M3=(A21 A22)B11
  M4=A22(B21-B11)
  M5=(A11 A22)(B11 B22)
  M6=(A12-A22)(B21 B22)
  M7=(A11-A21)(B11 B12)
  做了这7次乘法后，再做若干次加、减法就可以得到:
  C11=M5 M4-M2 M6
  C12=M1 M2
  C21=M3 M4
  C22=M5 M1-M3-M7
  以上计算的正确性很容易验证。
    例如:
  C22=M5 M1-M3-M7
  =(A11 A22)(B11 B22) A11(B12-B22)-(A21 A22)B11-(A11-A21)(B11 B12)
  =A11B11 A11B22 A22B11 A22B22 A11B12
  -A11B22-A21B11-A22B11-A11B11-A11B12 A21B11 A21B12
  =A21B12 A22B22
  由(2)式便知其正确性。
    
  至此，我们可以得到完整的Strassen算法如下：
  procedureSTRASSEN(n,A,B,C);beginifn=2thenMATRIX-MULTIPLY(A，B，C)elsebegin将矩阵A和B依(1)式分块;STRASSEN(n/2,A11,B12-B22,M1);STRASSEN(n/2,A11 A12,B22,M2);STRASSEN(n/2,A21 A22,B11,M3);STRASSEN(n/2,A22,B21-B11,M4);STRASSEN(n/2,A11 A22,B11 B22,M5);STRASSEN(n/2,A12-A22,B21 B22,M6);STRASSEN(n/2,A11-A21,B11 B12,M7);
  ;
  end;
  end;
  其中MATRIX-MULTIPLY(A，B，C)是按通常的矩阵乘法计算C=AB的子算法。
    
  Strassen矩阵乘积分治算法中，用了7次对于n/2阶矩阵乘积的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算。由此可知，该算法的所需的计算时间T(n)满足如下的递归方程:
  按照解递归方程的套用公式法，其解为T(n)=O(nlog7)≈O(n2。
    81)。由此可见，Strassen矩阵乘法的计算时间复杂性比普通矩阵乘法有阶的改进。
  有人曾列举了计算2个2阶矩阵乘法的36种不同方法。但所有的方法都要做7次乘法。除非能找到一种计算2阶方阵乘积的算法，使乘法的计算次数少于7次，按上述思路才有可能进一步改进矩阵乘积的计算时间的上界。
    但是Hopcroft和Kerr(197l)已经证明，计算2个22矩阵的乘积，7次乘法是必要的。因此，要想进一步改进矩阵乘法的时间复杂性，就不能再寄希望于计算22矩阵的乘法次数的减少。或许应当研究33或55矩阵的更好算法。在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性。
    目前最好的计算时间上界是O(n2。367)。而目前所知道的矩阵乘法的最好下界仍是它的平凡下界Ω(n2)。因此到目前为止还无法确切知道矩阵乘法的时间复杂性。关于这一研究课题还有许多工作可做。
  关于应用
  简单一点的
  表格，像考试分数求和
  复杂一点的
  魔方的解决方法，用矩阵代换方法。
    

  全部
  

  时***

  2018-01-10 09:41:00

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