已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点,左,右焦点,在轴上,双曲线的右支上一点使且...
已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点,左,右焦点,在轴上,双曲线的右支上一点使且的面积为.
求双曲线的标准方程;
若直线与双曲线相交于,两点(,不是左右顶点),且以为直径的圆过双曲线的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
由题意设双曲线的标准方程为,由已知得:,解得.由且的面积为,知,由此能求出双曲线的方程.,,,由以为直径的圆过双曲线的右顶点,知即,由此入手能够导出直线过定点. 解:由题意设双曲线的标准方程为,由已知得:解得,且的面积为,,,,,,双曲线的保准方程为.设,联立与双曲线得即则,又以为直径的圆过双曲线的右顶点即,且均满足.,.当时,直线,的方程为,直线过定点,与已知矛盾!当时,直线的方程为,直线过定点直线定点,定点坐标为. 本题考查双曲线的方程的求法和求证直线过定点,并求出该定点的坐标.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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