1。N为自然数集合,R为实数集合。
反例:Card(N^N)>Card(N)。
证明:{0,1}^N={ 数列{U(n)},U(n)=0,1},
{0,1}^N是N^N={ 数列{U(n)},U(n)∈N}的子集,
所以Card({0,1}^N)≤Card(N^N)。
而Card(N){0,1}^N,
F(x)={U(n)},x=U(0)/2+U(1)/2^2+。。+U(n)/2(n+1)+。。
显然F是个单射,所以
Card(N)CardR。
反证法:设CardR^R=CardR,即有个
F为从R到R^R的一一对应。
现定义一个从R到R的函数g,即R^R的一个元素。
g(x)=F(x)(x)+1,任意x∈R。
显然g∈R^R,所以有y∈R,使g=F(y)。
而g(y)=F(y)(y)+1≠F(y)(y)。
矛盾,所以CardR^R≠CardR。
==>
CardR^R>CardR。
。
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