设f(k)=∫(0,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx 令x=2t得 2^(-k)f(k)=2^(-k)∫(0,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx =∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t-1)-1/t-1/(e^t+1)]dt =∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t-1)-1/t]dt-∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t+1)]dt =f(k)-∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t+1)]dt ∴∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t+1)]dt=[1-2^(-k)]f(k) 而∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t+1)]dt＜∫(0,∞)[(t^k)e^(-t)]dt =Γ(k+1) ∵ -1＜k＜0 ∴ k+1＞0，即最常见的伽马函数 Γ(k+1)=∫(0,∞)[(t^k)e^(-t)]dt是收敛的 故f(k)=∫(0,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx收敛得证。
本来我想回答的，但有两位已经说得很明白了。佩服他们。
我对高数比较烦。
拾老师牙慧：
f(x)=1/x-1/(e^x-1),f'=[x^2*e^x-(e^x-1)^2]/[x(e^x-1)]^2
易证2chx≥x^2+2,所以f'≤0，
因为lim0)f(x)=1/2,所以f≤1/2,
{令t=1/x-1/2,就是（1+1/t)^(t+1/2)≥e,
1/2是(1+1/x)^(x+a)≥e中a的下确界!!}
∫(0,1](x^k)f(x)dx≤∫(0,1](x^k)*1/2dx=1/(2k+2)
第二部更巧妙，∫(1,+oo)x^kdx不收敛，而x^(k-1)收敛，
令g(x)=xf(x)=1-x/(e^x-1),g(x)1,
所以∫(1,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx=∫(1,∞)x^(k-1)g(x)dx
≤ ∫(1,∞)x^(k-1)dx=-1/k,
综上，原积分收敛。
。
我只是个小孩 不会！
参考高等数学第二册，物理专用 的书你去看看。不知道有没有证明。粗看有点熟悉。我的数学不好，也就只能回答道这步了。
第一步，改变一个符号，使被积函数大于零； 第二步，分段(0,1)，(1,+∞)考察； 第三步，用比较判别法证明其收敛性。
答：证明：这是交错级数， 且 lim An =lim{[n^(-1/2)}=0 故其收敛。 余项 Rn= (n+1)^(-1/2)详情>>
答：详情>>
