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有下面一个更一般的结论，楼主只要把f(x)取x^k即可得到问题的答案了，x^k的下界为0。当然相差了一个常数，1/(k+1).
根据下面的结论，lim(N→∞){[Σ(n=1～N)n^k-∫{x=1,N}x^kdx]}
=lim(N→∞){[Σ(n=1～N)n^k-N^(k+1)/(k+1)+1/(k+1)]}
极限存在，所以，您提问的极限也是存在的。k是定值。
注：这里k是定值，来自x^k，和下面的证明里的k是不相同的。
注：不等式里面我带了等号是因为对于非严格递减函数也是对的。这个东西昨天我才想到的，当然我相信很多书也许都涵盖了，只是凑巧我没看过，呵呵！
我总觉得lim(N→∞){[Σ(n=1～N)n^k]-[N^(1+k)]/(1+k)}
中的字母看起来不是非常地舒服，请您允许我稍微做一下字母的改变
我把您原题中的N写成n，k写成s，n写成k
其中-1N时，A(n)开始单调递减，通俗一点来说就是n足够大之后A(n)开始递减
A(n+1)-A(n)={[(n+1)^(s+1)]/(s+1)-Σ(k=1～n+1)[k^s]}-{[n^(s+1)]/(s+1)-Σ(k=1～n)[k^s]}
=[(n+1)^(s+1)]/(s+1)-(n+1)^s-n^(s+1)/(s+1)
=-[s/(s+1)]*(n+1)^(s+1)-n^(s+1)/(s+1)
=-[n^(s+1)/(s+1)]*[s*(1+1/n)^(s+1)+1]
而s*(1+1/n)^(s+1)+1=s*[(1+1/n)^(s+1)-1]+(s+1)
当n→∞,(1+1/n)^(s+1)-1～(s+1)/n
于是当n→∞时，s*(1+1/n)^(s+1)+1～(s+1)*(1+s/n)
分析：-[n^(s+1)/(s+1)]0
而后一部分当n→∞时等价于(s+1)*(1+s/n)
而当总能找到这样的N使得当n>N时1+s/n>0
从而后一部分[s*(1+1/n)^(s+1)+1]>0
于是我们证明了“存在正整数N，使得当n>N时，A(n)开始单调递减”
下面我们来证明数列An有下界
在闭区间[k,k+1]上对函数f(x)=x^(s+1)，-10
亦即An>0
从而数列An有下界0
于是根据单调有界数列必有极限知当n→∞时，A(n)的极限存在
于是命题也就得证了
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