一个很难答对的数学问题
下面的题目是朋友最近给我出的一道现实生活问题, 这位朋友说,这个问题已问过很多人(包括数学方面不错的),但还没有人能正确解出. 谢谢诸位能帮帮我解答下面问题: 我的好友小王高三毕业已有几个月了,问起高中同学, 小王记忆犹新道:”我班共有42位学生,其中没有人在中小学跳级或留级过”.你能从中推算出他们班中至少有两位同学在同一天出生的概率是多少吗?
解答： 这个问题很妙！其不仅仅是一个单纯的概率问题。 学过概率者很容易将本问题和以下一个概率论历史上颇为有名的问题联系起来： 参加某次集会的n个人中没有两人生日相同的概率是多少？ 关于这个著名问题，设一年按N天计算， 则所求概率Pb=C(N,n)n!/N^n=N!/[N^n(N-n)!](当n≤N)， Pb=0(当n＞N) 回到本题目，从“其中没有人在中小学跳级或留级过”可以假定这42位学生中，任意两位同学生日相差不会超过一年。
故所求的概率P=1- N!/[ (N-n)! N^n] 其中n=42，关键是N等于多少呢？如果不加思考，很容易认为N=365，但仔细分析题目给出的信息，从“小王高三毕业已有几个月了”可以推出：这42位学生是在1987年9月1日～1988年8月31日出生的（共有366天），故N=366。
所以，所求的概率P=1- 366!/[ 324!×366^42]≈91。34%。 。
这道题关键是: 确定学生出生那一年, 有多少天, 在当前条件下,可以分开来讨论, 润年是 N=366 天 平年是 N=365 天 然后就简单了, 求出所有人都不在一天出生的概率,P1 = 1/C(42,N) 其中C(42,N),是指从N中取出42个的组合 所以所求P = 1 - P1
这不算是难题吧,抽象成数学模型就是求42个人中同一天出生的概率嘛. 1-C(42,365)/365^42就是了; 其中C(42,365)/365^42一年中没有两个人同一天出生的总数,即从365天中取四十二天出来给四十二个人,然后除以365的四十二次方(因为每个人的出生种数都有365种可能), 所以 1 - C(42,365)/365^42 即是所求(一年中没有两个人同一天出生的对立事件就是至少有两位同学在同一天出生).
先看一个相关的解答，不过人数不同而已，但道理是一样的。
为了解释其中的道理，我们先把问题转化一下。我们设想有365只格子，上面分别贴上“1月1日”、“1月2日”……等标签；再设想有若干只球，上面分别写上你班里同学的姓名。
把球一个一个随意地放进格子里去，如果写着A同学姓名的球落在标着“5月2日”的格子里，就意味着A的生日是5月2日。
如果写着B同学姓名和D同学姓名的球同落在“7月18日”这个格子里，就意味着B和D生日相同。因此研究生日相同的概率，只要讨论这些球中至少有两个球在同一格里的概率。
“至少有两个球落在同一格里”，所包含的情况较复杂，它既包括“恰巧只有两个球落在同一格里”，也包括“有三个、甚至更多球落在同一格里”，也包括“这两个球落在这一格里，另外两个球落在另一格里”等等情况。
为此我们从反面来考虑问题，只要除去“所有的球都分别落在不同的格里”这种情况，其余的情况都属于“至少有两个球落在同一格里”，也就是说，除去“所有的人都有不同的生日”，其余的情况都属于“至少有两个人的生日相同”。总之，只要算出了“所有的球都分别落在不同的格里”的概率（设为P），那么，“至少有两个球落在同一格里”的概率就随手可得，为（1－P）。
再简化一下——
由于有365个格子，这个问题的计算量太大，为此，我们把问题再简化一下。假设现在只有4个格子，分别编为1、2、3、4号，有3只球，分别编为A、B、C，在这种条件下，先求出“所有的球都各自落在不同格子”的概率，再进而求出“至少有两个球落在同一格里”的概率。
还是用树图的方法，先放A球，有4种可能：放进1号格、2号格、3号格、4号格；再放B球，又有4种可能；最后放C球，也有4种可能。可见，这种树图画出来是挺占地方的，它的最后分叉有4×4×4，即64种情况。我们不去画这么复杂的树图，而另画一张与我们研究的情况有关的树图，即“所有的球都各自落在不同格子”的树图。
容易看出，这个树图是上面提到的复杂树图的一部分。先放A球，有4种可能：放进1号格、2号格、3号格、4号格；如果A球放进了1号格，在放B球时，只能放进2号格、3号格、4号格；不能再放进1号格，这是因为我们研究的是“所有的球都各自落在不同格子”的缘故；放C球时，当然也要这样考虑。
这个树图如下：
从树图上可以看出，共有4×3×2，即24个分叉。所以，在总共64种情况中，符合“所有的球都各自落在不同格子”的共有24种，“所有的球都各自落在不同格子”的概率为P=4×3×2/4×4×4=3/8，进而，可知“至少有两个球落在同一格里”的概率为1－P=1－3/8=5/8。
并非凑巧——
回到365个格子的复杂问题，并且假设有23个球，不难想像一共有23个365×365×……×365种情况，其中365×364×363×……×343种情况是符合“所有的球都各自落在不同格子”的，所以“23个球都落入不同格子”概率是P=365×364×363×……×343/365×365×……×365=0。
4927,于是,“23个球至少有两个落在同一格内”的概率为1－P=0。5073。到这里，我们可以得出“23个人中至少有两个人生日相同”的概率超过50%的结论。人数越多，至少有两人生日相同的概率越大，这一点不难从上面的推导中分析出来。
这样，班上42位同学，符合题意的答案应该是（假设一年365天）
1-P=1-（365×364×363×……×324）/（365×365×……×365）
其中分子是以365开头的连续减1的42个数，分母是42个365。
具体计算我就不算了吧。
我觉得问题是这样的 “其中没有人在中小学跳级或留级过” 这句话是在年这个层面上说的话 而问题“在同一天出生的概率”是在说月日。所以应该不起作用。所以问题的结果还应该是41/360（如果一年按360天算的话）
答：我坚决支持你回家。其实我也是一个在外地工作的女孩，虽然现在能完全自给自足，但是一个人漂泊在外真的很辛苦，特别是你现在这个处境，所以我支持你，建议你先回家。 在父...详情>>
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