区间套定理：
① a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b1
② lim(bn-an)=0,当n→+∞时
则存在唯一点P∈闭区间[an, bn],任取n∈N
证明：记无限集合A={ a1，a2，…，an ，…}且an≤b1任取n∈N
记无限集合B={ b1，b2，…，bn ，…}且bn≥a1任取n∈N
集合A有上界，集合B有下界，依据确界存在原理：
A有上确界Y，B有下确界X
即：an≤Y且bn≥X，任取n∈N
且对于任意的ε＞0而言：存在M∈N，只要n＞M，
恒有：
Y-ε/2＜an≤Y，X≤bn＜X+ε/2，（确界定义）
∣bn-an∣＜ε （极限定义）
（注意：an≤bn）
故：0≤bn - an＜X-Y+ε且X-Y≤bn - an=∣bn-an∣＜ε
即：Y＜X+ε且X＜Y+ε
由于ε的任意性可知：Y≤X且X≤Y，从而X=Y
记P=X=Y，显然an≤P≤bn，任取n∈N，
现证明：P唯一
假设存在Q≠P，且Q∈闭区间[an, bn],任取n∈N
于是0≤∣Q-P∣≤∣bn-an∣= bn - an
利用夹逼定理可知：lim∣Q-P∣=0，当n→+∞时，
于是Q=P，与假设矛盾！
定理得证！
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