数学
如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A,B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点，若OA,OB（OA>OB）的长分别是方程x^2-4x+3=0的两根,且 ∠DAB=45° （1）求抛物线对应的二次函数的解析式 （2）过点A作AC⊥AD交抛物线于点C，求点C的坐标 （3）在（2）的条件下，过点A作直线L交线段CD于点P，求点C,D到L的距离分别为d1,d2,求d1+d2的最大值
如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A,B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点，若OA,OB（OA>OB）的长分别是方程x^2-4x+3=0的两根,且∠DAB=45° 说句实在话，你这图也做得太烂了，简直有点误导人。还不如自己作图。
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式 方程x^2-4x+3=0的根为：(x-1)(x-3)=0 所以，x1=1，x2=3 因为OA＞OB 所以，点A(3,0)、B(1,0) 那么，对称轴的横坐标为(3+1)/2=2 设对称轴与x轴的交点为M，则M(2,0) 所以，MA=2-1=1 已知，∠DAB=45°，又有DM⊥AB 所以，△AMD为等腰直角三角形 所以，DM=AM=1 所以，顶点D的坐标为D(2,-1) 那么，设抛物线的解析式为：y=a(x-2)^2-1（a＞0） 它经过点A(1,0)，代入抛物线解析式得到：a*(1-2)^2-1=0 所以：a=1 则，抛物线的解析式为：y=(x-2)^2-1=x^2-4x+3 （2）过点A作AC⊥AD交抛物线于点C，求点C的坐标 已知∠DAB=45° 所以，当AC⊥AD时，∠CAB=90°-∠DAB=45° 所以，经过点A(1,0)的直线的斜率k=tan45°=1 所以，AC所在直线为y=x-1 而点C是直线y=x-1与抛物线y=x^2-4x+3的交点，所以： x-1=x^2-4x+3 即：x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0 所以，x1=1，x2=4 当x=1时就是交点A(1,0)，当x=4时就是交点C(4,3) （3）在（2）的条件下，过点A作直线L交线段CD于点P，求点C,D到L的距离分别为d1,d2,求d1+d2的最大值 如图 当过点A的直线L不与线段CD垂直时（图中直线L1），过点D作直线L1的平行线，它与CE的延长线相交于点G 因为DF⊥L1，CE⊥L1，DG//L1 所以，四边形EFDG为矩形 则，d2=DF=EG 那么，d1+d2=CE+EG=CG………………………………………（1） 因为CG⊥DG 所以，△CGD为直角三角形 那么，根据直角三角形中斜边大于直角边可知：CD＞CG……（2） 当过点A的直线L与线段CD垂直时（图中直线L2），过点C、D作L2的垂线就是CD。
此时，d1+d2=CD……………………………（3） 所以，由(1)(2)(3)知，当过点A的直线L与线段CD垂直时候，d1+d2就达到最大值，最大值就是线段CD的长度 由前面有：点C(4,3)、点D(2,-1) 由两点间距离公式得到：CD=√[(4-2)^2+(3+1)^2]=2√5 即，d1+d2|max=2√5。
①X²-4X+3=0------X=1，X=3，∵OA＞OB，∴|0A|=3，|OB|=1； ∴点A（3，0），点B（-1，0）（你的图有问题，X的正半轴上的点才是点A，你刚好画反了） ∵点D是抛物线的顶点，∵DA=DB，又∵∠DAB=45°，∴∠ADB=90° 设点D（X1，Y1），则有：AD²+DB²=AB²，即： （X1+1）²+Y1²+（3-X1）²+Y1²=（3+1)²,同时： （X1+1）²+Y1²=（3-X1）²+Y1²，解得： X1=1，Y1=-2，即：点D（1，-2）。
设解析式是：Y=aX²+bX+c, 把点A（3，0），B（-1，0），D（1，-2)代入得： Y=0。5X²-X-1。5。 ②（因为你原图错，所以，点C正确的位置应该在第三象限） 设点C（X2，Y2），∵AC⊥AD，∴AC²+AD²=CD²， AD²=8， AC²=（3-X2）²+Y2²， CD²=（1-X2）²+（Y2+2）²，解得：X2+Y2=3， ∵点C在抛物线上，∴点C（-3，6）。
③不难求证：d1+d2的最大值是：直线L与X轴重合时的值，此时，d1,d2分别是点C到X轴的垂线，D到X轴的垂线 ∵AC⊥AD，∠DAB=45°，∴∠CAB=45°， ∴距离d1+d2的最大值=C的纵坐标+D的纵坐标=6+2=8。 。
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