关于1个级数的问题。
级数的一般项:a(5k)=-4/(5k), an=1/n,n不是5的倍数。讨论其敛散性。 我在一般问题 > 教育 > 考研 > 数学 中aimsrenmin 2005-10-06 的“请教一道有关幂级数的题”回答得 ln((1-x^5)/(1-x))=ln(1-x^5)-ln(1-x)=∑{1≤k<+∞}akx^(k)。在讨论x=1时我证明∑{1≤k<+∞}ak收敛。 如下:当x=1时,a(5k+1)+a(5k+2)+a(5k+3)+a(5k+4)+a(5k+5)= =1/(5k+1)-1/(5k+5)+1/{5k+2)-1/(5k+5)+1/(5k+3)-1/(5k+5)]+1/(5k+4)-1/(5k+5) =4/[(5k+1)(5k+5)]+3/[(5k+2)(5k+5)]+2/[(5k+3)(5k+5)]+1/[(5k+4)(5k+5)] 设Sn=∑{1≤k≤n}ak,n=5m+l,1≤l≤4, ==》Sn=∑{1≤k≤n}ak=[a1+a2+a3+a4+a5]+。。。+ +[a(5m-4)+a(5m-3)+a(5m-2)+a(5m-1)+a(5m)]+ +[a(5m+1)+。。+a(5m+l)]= =∑{0≤k≤m-1}4/[(5k+1)(5k+5)]+∑{0≤k≤m-1}3/[(5k+2)(5k+5)]+ +∑{0≤k≤m-1}2/[(5k+3)(5k+5)]+∑{0≤k≤m-1}1/[(5k+1)(5k+5)]+ +[a(5m+1)+。。+a(5m+l)]=Tm+bn 其中 Tm=∑{0≤k≤m-1}4/[(5k+1)(5k+5)]+∑{0≤k≤m-1}3/[(5k+2)(5k+5)]+ +∑{0≤k≤m-1}2/[(5k+3)(5k+5)]+∑{0≤k≤m-1}1/[(5k+1)(5k+5)], bn=[a(5m+1)+。。+a(5m+l)], 容易得Tm收敛,即Lim{m→+∞}Tm=T, Lim{n→+∞}bn=0==》Sn收敛于T。 并说:在计算x=1时,级数收敛,若用 1/1+1/2+1/3+。。1/n=lnn+Cn,其中数列Cn收敛于欧拉常数C,则问题较容易。 有位大学教师huangcizheng 认为∑{1≤k<+∞}ak发散, 理由调和级数∑1/n发散。 敬请有兴趣者光临。
我只讨论这个题目。这个级数显然是收敛的, 只要不变动次序,随便你怎么加括号。用 1-1+1-1+。。。 来做反例是错误的, 因为这个例子里面的项(不)趋于零,而楼主出的题目里各项趋于零。 楼主的证明也正确,如果要严格些,也要用什么sigma, delta, 什么Cauchy 判断定理, 也无不可。
============================================ 当然,兄弟实在不是高手,更不是大学数学老师。 ======= 10/10 晨,发现掉了一个不字。 ============================================================= 10/10 午夜, 兄弟没去讨论那个级数 Sigma(a_n) 的收敛性,因为它确实太简单了。
下面向略谈一下 ln[(1-x^5)/(1-x)] 在x=0 处的Taylor 展开,来说明 楼主得出的答案是正确的。 有个叫 Abel 的人,有这样一个定理:如果Taylor 级数p的收敛半径>0, 并且 对 在收敛圆上的z来说,p(z) 收敛, 那么 p(tz)->p(z), 其中 t ->1^-。
现在 “大家” 已经证明了那个级数Sigma(a_n)收敛,那么 Sigma(a_n)=lim_{x->1^-} Sigma(a_n x^n)=lim_{x->1^-}ln[(1-x^5)/(1-x)] =ln5。 这个定理是在复分析里的。
这里当然取的解析分支是 ln1=0 的那一支。 似乎此题与那个叫 Riemann 的人没有关系。 。
你们讨论得?淙饶郑踔粱褂械慊鹨┪叮∑涫蹈眉妒鞘樟驳模。。? 证明如下: (1)用Sn表示部分和。因为n不是5的倍数时,an=1/n →0 (n→+∞) 所以 序列{Sn}收敛当且仅当{S5n}收敛。 (2)下面用两种方法证明{S5n}收敛: (a)S5n=1+1/2+。
。。。1/(5n)-(1+1/2+。。。1/n)=ln(5n)+C5n-lnn-Cn=ln5+C5n-Cn→ln5 (n→+∞) (b) 因为: 1/(5n-4)+1/(5n-3)+1/(5n-2)+1/(5n-1)-4/5n= 4/[(5n)*(5n-4)]+3/[(5n)*(5n-3)]+2/[(5n)*(5n-2)]+1/[(5n)*(5n-1)] 所以S5n可以表示成四个收敛的级数∑4/[(5n)*(5n-4)] ,∑3/[(5n)*(5n-3)] ,∑1/[(5n)*(5n-1)] 的部分和的和。
因此 {S5n}收敛 综合(1)(2)序列{Sn}收敛,从而该级数是收敛的!!! 顺便说一下本题中的a5n项的系数(姑且这样叫吧!)的分子4很关键。 如果把4改为1,2,3,5等,级数就不收敛!!! 。
这样的问题,一般做学生的可能无法讲清楚,如果这里有教授《数学分析》或《高等数学》两年以上的教师,欢迎讨论。 你的回答里至少有两点错误,第一点是致命的概念错误,第二点则是在情急之下的低级错误,就是我说的你越补充越离谱了。 先说第一点。 收敛的级数任意添加括号以后得到的级数仍然收敛,且和不变。
——这是无穷级数的一个基本性质,高等数学里在无穷级数第一节讲无穷级数概念的时候讲的。但是它的逆命题是不成立的,即添加括号以后的级数收敛,并不能得到原来的级数收敛的结论,也就是说,发散的级数添加括号以后的级数也可能收敛。 例如级数:1-1+1-1+1-1+……是发散的,但(1-1)+(1-1)+(1-1)+……却是收敛的。
你把这个级数每5项看作一项,实际上是按每5项添加括号,得到的级数收敛也不能说明原来的级数收敛。我们知道,级数的和是其部分和Sn构成的数列的极限,但你这里写的Sn却并不是原来级数的部分和数列,而是添加括号以后的级数的部分和数列,只是原来级数部分和数列的一个子数列,子数列的极限存在,并不能得到原来数列极限存在的结论。
这里还只是因为你上面所说的概念没有搞清楚的缘故。但在你的补充里却犯了一个明显的低级错误,就是我要说的第二点。 1/1+1/2+1/3+…+1/n=lnn+Cn,其中数列Cn收敛于欧拉常数C,但lnn却是趋向于无穷大的,自然结论应该是1/1+1/2+1/3+…+1/n+…发散。
在那里的评论里,你甚至说什么这是两个发散的级数相加得到收敛级数典型的例子,就有点胡说八道的味道了。 希望你认真地去重新看一下高等数学里无穷级数的内容,理清楚概念,如果能因此得到提高,也是幸事。 。
答:详细证明如下:详情>>
问:小华5/1小时行了3/2千米他行1千米需要多少小时,他行1小时可行多少千米?(为...
答:1/5÷2/3=1/5×3/2=3/10小时详情>>
问:甲车每小时行38km乙车每小时行41km甲乙车同时两地开岀相向行了2.5小时后相...
答:(38+41)x2.5=197.5千米详情>>