我一般不写定理证明，但下面的定理是解析数论常用的定理，
而数学分析很少介绍。所以我证明一下。
定理1：f可导，
∫_{1→+∞}f'(x){x}dx=
=∑_{n≥2}f(n)-∫_{1→+∞}f(x)dx,
其中{x}=x-[x],[x]为x的整数部分。
定理1证明：
∫_{n→n+1}f'(x){x}dx=
=∫_{n→n+1}(x-n)df=
=f(n+1)-∫_{n→n+1}f(x)dx
两边求和得到定理1。
定理2：若∫_{1→+∞}f'(x){x}dx收敛，则
∑_{n≥1}f(n)和∫_{1→+∞}f(x)dx的敛散性相同。
定理2证明：
使用定理1的结论。
使用前面的定理本题就简单多了，这是因为离散的东西
一般比连续的东西难的多。解析数论就是将离散的东西
变为连续的东西研究，所以解析数论中有许多漂亮的结果。
本题的研究方法。
f(x)=x^(sin x -2 )
1。
可以（但较长）证明：
∫_{1→+∞}f'(x){x}dx收敛。
2。
可以比较容易（但较长）证明：
∫_{1→+∞}f(x)dx发散。
所以∑_{n≥1}n^(sin n -2 )发散。
前面2个积分的敛散性比较容易验证，这是因为
不涉及π的性质，只用一些常用分析的方法。
所以前面2个积分的敛散性你自己验证一下，
也可以另外提问。
。
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