征集三角不等式证明
在三角形ABC中,证明: cosAcosBcosC=<1/8
证明(1):非锐角三角形为显然,仅需证明锐角三角形 a=bcosC+ccosB>=2√(bccosBcosC) b=ccosA+acosC>=2√(cacosCcosA) c=acosB+bcosA>=2√(abcosAcosB) 三式相乘约去abc即得 证明(2):非锐角三角形为显然,仅需证明锐角三角形。 cosAcosBcosC=(1/2)[cos(A-B)+cos(A+B)]cosC =(1/2)[cos(A-B)-cosC]cosC =<(1/8)[cos(A-B)-cosC+cosC]^2 =(1/8)[cos(A-B)]^2=<1/8.
解:根据余弦定理所证不等式等价于 (b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)==a^4-(b^2-c^2)^2=(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2); b^4>=b^4-(c^2-a^2)^2(b^2+c^2-a^2)(a^2+b^2-c^2); c^4>=c^4-(a^2-b^2)^2(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2). 上述三式相乘开方即得.
证明1:设cosAcosBcosC=t ∵A+B+C=π,又因t=[cos(A+B)+cos(A-B)]cosC=-[cos2C-cos(A-B)cosC] ∴cos²C-cos(A-B)cosC+2t=0 ∵cosC∈R,故△≥0,即cos²(A-B)-8t≥0 ∴t≤cos²(A-B)/8≤1/8 故cosAcosBcosC≤1/8 证明2:
答:如图,△ABC中,若∠C>∠B 求证:AB>AC 证明:假设AC≥AB ①若AC=AB,则∠C=∠B,这与已知∠C>∠B矛盾; ②若AC>AB,则在AC上截取A...详情>>
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